Mostre que as linhas da matriz A=(ccc1 & 3 & 1 -3 & 13 & 1 -2 & 5 & 0) são vetores linearmente dependentes e dê exemplos de vetores não nulos b1 e b2 tais que A x=b1 tenha solução vazia e A x=b2 tenha solução não vazia.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A= 1 & 3 & 1 -3 & 13 & 1 -2 & 5 & 0
e pede para mostrar que as suas linhas
r1=(1,3,1), r2=(-3,13,1), r3=(-2,5,0)
são linearmente dependentes. Em seguida, temos que usar essa dependência para encontrar exemplos de vec b1 sem solução para Avec x=vec b1 e de vec b2 com solução para Avec x=vec b2.

Passo 2

Para as linhas serem linearmente dependentes basta achar escalares não todos nulos (c1,c2,c3) tais que
c1 r1 + c2 r2 + c3 r3 = 0
Vemos que
r1 +2, r3 =(1,3,1)+2(-2,5,0) =(1-4,;3+10,;1) =(-3,13,1) = r2
Logo
r1 +2, r3 - r2 = 0,
que é uma combinação não trivial. Portanto as linhas são linearmente dependentes.

Passo 3

Da relação
podemos escrever em forma de vetor de coeficientes que satisfaz
Se tivesse solução, multiplicando à esquerda por daria
Portanto a condição necessária (e suficiente, dado que ) para existência de solução é

Passo 4

Escolhemos um vetor vec b1 não nulo que não satisfaz -b1+b2-2b3=0. Por exemplo,
vec b1 = (0,0,1)
De fato,
-0 + 0 -2cdot1 = -2 neq 0,
logo Avec x = vec b1 não tem solução.

Passo 5

Agora escolhemos um vetor vec b2 não nulo que satisfaça -b1 + b2 -2b3=0. Por exemplo,
vec b2 = (1,1,0),
pois
-1 + 1 -2cdot0 = 0
Para mostrar que existe solução basta exibir um vec x. Tomemos vec x=(0,0,1). Então
Avec x = 1 & 3 & 1 -3 & 13 & 1 -2 & 5 & 0 001 =110 =vec b2
Logo Avec x=vec b2 tem solução.

Resposta

As linhas de A são LD porque r1+2 r3= r2.
Um vetor sem solução é vec b1=(0,0,1).
Um vetor com solução é vec b2=(1,1,0), cuja solução é, por exemplo, vec x=(0,0,1).

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