Dados
, com
e
. Mostre que existe solução de
. Além disso, se
é solução, então
, com
, é também solução.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dado
com
e
, a congruência
tem pelo menos uma solução inteira
. Além disso, devemos provar que, uma vez encontrada uma solução
, todos os inteiros da forma
(com
) também são soluções.
Para isso vamos usar dois fatos básicos de teoria dos números:
Para isso vamos usar dois fatos básicos de teoria dos números:
- Identidade de Bézout (existe combinação linear de
e que vale 1). - Propriedade de estabilidade das congruências sob soma de múltiplos do módulo.
Passo 2
Como
, pela identidade de Bézout existem inteiros
e
tais que
Multiplicando essa igualdade por
obtemos
Isso quer dizer que
Logo
é uma solução da congruência
.
Passo 3
Agora provamos que, se
é solução, então
também é solução para qualquer
. Como
temos
pois
e
.
Resposta
Existe solução porque, pela identidade de Bézout,
satisfaz
. Além disso, todas as soluções são da forma