Determine o menor múltiplo de 7 que deixa resto 1 quando dividido por 2,3,4,5 e 6 .

Passo 1

O enunciado pede o menor inteiro n tal que
  1. n é múltiplo de 7,
  2. nequiv1pmodm para m=2,3,4,5,6.
O conteúdo usado será aritmética modular e o princípio das congruências simultâneas (especialmente via MMC/CRT).

Passo 2

Para satisfazer
nequiv1pmod2, nequiv1pmod3, nequiv1pmod4, nequiv1pmod5, nequiv1pmod6,
basta ter
nequiv1pmodlcm(2,3,4,5,6)
Como lcm(2,3,4,5,6)=60, deduzimos
nequiv1pmod60,
ou seja
n=60t+1
para algum inteiro t>=0.

Passo 3

Como n também deve ser múltiplo de 7, escrevemos
n=7k
Igualando,
7k=60t+1
ou em congruência
7kequiv1pmod60

Passo 4

Para resolver 7kequiv1pmod60 encontramos a inversa de 7 módulo 60. Sabe-se (por tentativa ou algoritmo) que
7cdot43=301equiv1pmod60,
logo 7^-1equiv43pmod60. Multiplicando a congruência por 43:
kequiv43pmod60
O menor k>=0 é k=43, e então
n=7k=7cdot43=301

Resposta

301

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