Responda o que se pede em cada item:
Encontre todas as soluções da equação x^3=x no anel (Z6,+, cdot)

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
x^3 = x
no anel Z6 = 0,1,2,3,4,5 com as operações usuais módulo 6. Vamos usar fatoração de polinômio em Z6 e um fato sobre divisibilidade de três inteiros consecutivos.

Passo 2

Reescrevemos a diferença
x^3-x = 0
como
x^3-x = x,(x^2-1) = x,(x-1),(x+1)

Passo 3

Em Z6, para qualquer xin0,1,2,3,4,5 temos três inteiros consecutivos x-1, x, x+1. Num conjunto de três inteiros consecutivos há sempre um múltiplo de 2 e um múltiplo de 3, logo o produto
x,(x-1),(x+1)
é múltiplo de 6 e, em particular, é congruente a 0 módulo 6. Assim
x,(x-1),(x+1)equiv 0pmod6
para todo xinZ6.

Passo 4

Da congruência acima segue que
x^3-xequiv 0pmod6 Long<=ftrightarrow x^3equiv xpmod6
é satisfeita por todos os elementos de Z6.

Resposta

As soluções da equação x^3=x em Z6 são
0,1,2,3,4,5

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