Dados z, w in C, mostre que:
Re(z barw)=|z||w| se e só se arg (z)-arg (w)=2 k pi para algum inteiro k.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dados z,winC, vale
Re(z,w) = |z|,|w|
se e só se
arg(z)-arg(w)=2kpi para algum kinZ
O conteúdo principal que vamos usar é a representação polar de números complexos e a fórmula da parte real em termos do cosseno.

Passo 2

Escrevemos z e w em forma polar:
z = |z|,e^itheta, w = |w|,e^iphi,
onde theta=arg(z) e phi=arg(w).

Passo 3

Calculemos z,w. Como w=|w|,e^-iphi, temos
z,w = l(|z|e^ithetar)l(|w|e^-iphir) = |z|,|w|,e^i(theta-phi)

Passo 4

A parte real de um número na forma Re^ialpha é Rcos(alpha). Portanto,
Re(z,w) = |z|,|w|,cos(theta-phi)

Passo 5

Para que
Re(z,w) = |z|,|w|,
precisamos de
|z|,|w|,cos(theta-phi) = |z|,|w|
Como |z|,|w|>=0, isso equivale a
cos(theta-phi)=1 Long<=ftrightarrow theta-phi = 2kpi,;kinZ

Resposta

A igualdade Re(z,w)=|z|,|w| ocorre exatamente quando
arg(z)-arg(w)=2kpi para algum inteiro k

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