Verifique se as séries a seguir converge ou diverge. Usando teste da integral.
sumn=2^+infty ln (n)n

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a série sumn=2^+infty ln(n)n converge ou diverge, usando o teste da integral. Então, estamos trabalhando com séries infinitas e aplicando o teste da integral para determinar o comportamento da série.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o teste da integral. Esse teste serve para comparar uma série infinita com uma integral. Se a integral correspondente converge, a série também converge; se a integral diverge, a série também diverge. Para aplicar o teste, precisamos que a função seja contínua, positiva e decrescente para n >= 2.

Passo 3

Vamos considerar a função f(x) = ln(x)x. Vamos verificar se ela atende aos critérios:
  1. Continuidade: A função é contínua para x > 1 porque o logaritmo natural e a divisão por x são funções contínuas nesse intervalo.
  2. Positividade: Para x >= 2, ln(x) > 0 e x > 0, então f(x) > 0.
  3. Decrescente: Vamos verificar se f(x) é decrescente. Calculando a derivada:
f'(x) = 1 cdot x - ln(x) cdot 1x^2 = x - ln(x)x^2
Para x >= 2, x - ln(x) > 0, então f'(x) > 0. Isso indica que a função está crescendo. Parece que temos um problema aqui, pois o teste da integral requer que a função seja decrescente.

Passo 4

Como a função f(x) não é decrescente para todo x >= 2, não podemos aplicar diretamente o teste da integral. Nesse caso, podemos tentar comparar com outra série conhecida ou usar outro teste de convergência.
Vamos tentar o Teste da Comparação. Sabemos que ln(n) cresce mais lentamente que qualquer potência de n, então ln(n)n é menor que n^kn para k < 1. Por exemplo, podemos comparar com 1n^0,9, que é uma série p de p = 0,9 < 1, sabemos que essa série diverge.

Passo 5

Como ln(n)n > 1n^0,9 para n grande o suficiente e sum 1n^0,9 diverge, então pela comparação, nossa série sum ln(n)n também diverge.

Resposta

A série sumn=2^+infty ln(n)n diverge.

Exercícios relacionados