Verifique se as séries a seguir converge ou diverge. Usando teste da integral.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a série
converge ou diverge, usando o teste da integral. Então, estamos trabalhando com séries infinitas e aplicando o teste da integral para determinar o comportamento da série.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o teste da integral. Esse teste serve para comparar uma série infinita com uma integral. Se a integral correspondente converge, a série também converge; se a integral diverge, a série também diverge. Para aplicar o teste, precisamos que a função seja contínua, positiva e decrescente para
.
Passo 3
Vamos considerar a função
. Vamos verificar se ela atende aos critérios:
-
Continuidade: A função é contínua para
porque o logaritmo natural e a divisão por são funções contínuas nesse intervalo. -
Positividade: Para
, e , então . -
Decrescente: Vamos verificar se
é decrescente. Calculando a derivada:
Para
,
, então
. Isso indica que a função está crescendo. Parece que temos um problema aqui, pois o teste da integral requer que a função seja decrescente.
Passo 4
Como a função
não é decrescente para todo
, não podemos aplicar diretamente o teste da integral. Nesse caso, podemos tentar comparar com outra série conhecida ou usar outro teste de convergência.
Vamos tentar o Teste da Comparação. Sabemos que
cresce mais lentamente que qualquer potência de
, então
é menor que
para
. Por exemplo, podemos comparar com
, que é uma série p de
, sabemos que essa série diverge.
Passo 5
Como
para
grande o suficiente e
diverge, então pela comparação, nossa série
também diverge.
Resposta
A série
diverge.