Resolva cada uma das integrais indefinidas abaixo, pelo método de integração por funções trigonométricas
I=integral x^2 d x(x^2-6)^1 / 2

Passo 1

O enunciado pede a integral
I=integral x^2,dxraizx^2-6
Usaremos o método de substituição trigonométrica para expressões da forma raizx^2-a^2, com a=raiz6.

Passo 2

Fazemos a substituição
x = raiz6,sectheta, dx = raiz6,sectheta,tantheta,dtheta, raizx^2-6 = raiz6,tantheta

Passo 3

Substituindo na integral, o numerador fica
x^2,dx = l(raiz6,secthetar)^2l(raiz6,sectheta,tantheta,dthetar) =6raiz6,sec^3theta,tantheta,dtheta,
e o denominador é raiz6,tantheta. Assim
I = integral 6raiz6,sec^3theta,tanthetaraiz6,tantheta,dtheta =6integral sec^3theta,dtheta

Passo 4

Usamos a integral padrão
integral sec^3theta,dtheta =tfrac12l(sectheta,tantheta+lnl|sectheta+tanthetar|r)+C
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I = 6cdottfrac12l(sectheta,tantheta+lnl|sectheta+tanthetar|r)+C =3sectheta,tantheta+3lnl|sectheta+tanthetar|+C

Passo 5

Voltando a x:
sectheta = xraiz6, tantheta = raizx^2-6raiz6,
sectheta,tantheta =xraizx^2-66, lnl|sectheta+tanthetar| =lnl|x+raizx^2-6raiz6r| =lnl|x+raizx^2-6r|-tfrac12ln6
Absorvendo o termo -32ln6 em C, obtemos
I=xraizx^2-62+3lnl|x+raizx^2-6r|+C

Resposta

boxedI=xraizx^2-62+3lnl|x+raizx^2-6r|+C

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