Resolva cada uma das integrais indefinidas abaixo, pelo método de integração por funções trigonométricas
I=integral d x(x^2+2)^3 / 2

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
I = integral dxl(x^2+2r)^3/2
Usaremos o método de substituição trigonométrica, pois a expressão x^2+a^2 sugere x=atantheta.

Passo 2

Fazemos a substituição
x = raiz2,tantheta, dx = raiz2,sec^2theta,dtheta
Então
x^2+2 = 2tan^2theta + 2 = 2sec^2theta,
e
l(x^2+2r)^3/2 = l(2sec^2thetar)^3/2 = 2^3/2,sec^3theta = 2raiz2,sec^3theta

Passo 3

Substituindo na integral, temos
I = integral raiz2,sec^2theta,dtheta2raiz2,sec^3theta = integral sec^2theta2sec^3theta,dtheta = 12 integral costheta ,dtheta = 12 sintheta + C

Passo 4

Voltemos a x. Da definição tantheta = xraiz2 segue
sintheta = tanthetasectheta = x/raiz2raiz1+tan^2theta = x/raiz2raiz(x^2+2)/2 = xraizx^2+2
Logo
I = 12 sintheta + C = 12 ,xraizx^2+2 + C

Resposta

boxedI = x2raizx^2+2 + C

Exercícios relacionados