Dados
, mostre que:
se e só se
para algum inteiro
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dados dois complexos
e
, temos
se, e somente se, seus argumentos satisfazem
O conteúdo principal é a desigualdade triangular em
e a condição de igualdade nessa desigualdade (isto é, quando dois “vetores” complexos têm mesma direção e sentido).
Passo 2
Lembramos que a desigualdade triangular diz
A teoria nos garante que a igualdade ocorre exatamente quando
e
são colineares no mesmo sentido, ou seja, existe
real tal que
Nesse caso
implica que o ângulo entre
e
é zero, isto é,
.
Passo 3
(
Se . Se
, então
e
, o que também força
e podemos tomar qualquer
. Assim em todo caso
Passo 4
(
) Agora suponha
.
Então existem e um ângulo
tais que
Então existem
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Resposta
Mostramos assim que