Dados z, w in C, mostre que:
|z+w|=|z|+|w| se e só se arg (z)-arg (w)=2 k pi para algum inteiro k.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dados dois complexos z e w, temos
|z+w| = |z| + |w|
se, e somente se, seus argumentos satisfazem
arg(z) - arg(w) = 2kpi para algum kinZ
O conteúdo principal é a desigualdade triangular em C e a condição de igualdade nessa desigualdade (isto é, quando dois “vetores” complexos têm mesma direção e sentido).

Passo 2

Lembramos que a desigualdade triangular diz
|z+w| <= |z| + |w|
A teoria nos garante que a igualdade ocorre exatamente quando z e w são colineares no mesmo sentido, ou seja, existe lambda>=0 real tal que
w = lambda,z
Nesse caso lambda>=0 implica que o ângulo entre z e w é zero, isto é, arg(w)-arg(z)=0pmod2pi.

Passo 3

(
Se . Se , então e , o que também força e podemos tomar qualquer . Assim em todo caso

Passo 4

( Leftarrow) Agora suponha arg(z)-arg(w)=2kpi.
Então existem r,s>=0 e um ângulo theta tais que
z = r,e^itheta, w = s,e^itheta
Logo
z+w = (r+s),e^itheta Longrightarrow |z+w| = r+s = |z| + |w|

Resposta

Mostramos assim que
|z+w| = |z| + |w| iff arg(z)-arg(w)=2kpi, kinZ

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