Resolva cada uma das integrais indefinidas abaixo, pelo método de integração por funções trigonométricas
I=integral d xx^3 cdot(x^2-25)^1 / 2

Passo 1

O enunciado pede para calcular
I = integral dxx^3raizx^2-25
usando substituição trigonométrica. Aqui temos um radical da forma raizx^2-a^2 com a=5, então vamos usar
x=5sectheta,
pois assim raizx^2-25 fica proporcional a tantheta.

Passo 2

Fazendo
x = 5sectheta Longrightarrow dx = 5secthetatantheta,dtheta, raizx^2-25 = raiz25sec^2theta-25=5tantheta
Substituindo em I:
I = integral 5secthetatantheta,dtheta(5sectheta)^3,l(5tanthetar) = integral 5secthetatantheta,dtheta625,sec^3theta,tantheta = 1125integral secthetasec^3theta,dtheta = 1125integral cos^2theta,dtheta

Passo 3

Usamos a identidade cos^2theta=(1+cos2theta)/2:
1125integral cos^2theta,dtheta = 1125integral 1+cos2theta2,dtheta = 1250integral (1+cos2theta),dtheta = 1250l(theta + tfrac12sin2thetar)+C

Passo 4

Agora voltamos à variável .
  1. Como , temos
    (ou equivalentemente ).
  2. E
Substituindo em
, obtemos

Resposta

Exercícios relacionados