Dados os números complexos a=3+8 i, b=9 i, c=-1-3 i e d=3 e^{i 45^{o}}, determine:
z=a+b-c

Passo 1

O enunciado nos dá os números complexos e pede uma operação com eles. As informações fornecidas são:
  • a=3+8i
  • b=9i
  • c=-1-3i
  • d=3e^{i45^\circ} (informação fornecida, mas não é necessária para este cálculo)
O que o enunciado pede:
  • Calcular z=a+b-c.

Passo 2

Relembrando a regra básica para somar e subtrair números complexos (aquela que vai salvar sua prova): um número complexo pode ser escrito como
z = x + yi,
onde x é a parte real e y é a parte imaginária (ambos números reais). Se tivermos
z_1 = x_1 + y_1 i \quad\text{e}\quad z_2 = x_2 + y_2 i,
então a soma e a subtração são feitas combinando separadamente as partes reais e as partes imaginárias:
z_1 + z_2 = (x_1 + x_2) + (y_1 + y_2)i,
z_1 - z_2 = (x_1 - x_2) + (y_1 - y_2)i.
Por que isso funciona? Porque i é uma unidade independente (como x e y em vetores): juntamos “termos semelhantes” (reais com reais, imaginários com imaginários). Exemplo rápido: (2+3i)+(1+4i)=3+7i.

Passo 3

Vamos identificar as partes reais e imaginárias dos números dados (peguei esses valores do enunciado):
  • Para a=3+8i: parte real =3, parte imaginária =8.
  • Para b=9i: parte real =0, parte imaginária =9.
  • Para c=-1-3i: parte real =-1, parte imaginária =-3.

Passo 4

Primeiro somamos a e b usando a regra de somar partes correspondentes:
a+b = (3+8i)+(0+9i) = (3+0) + (8+9)i = 3 + 17i.

Passo 5

Agora subtraímos c do resultado acima. Lembre que subtrair um número com partes negativas vira soma de positivas quando for o caso:
z=(a+b)-c = (3+17i)-(-1-3i).
Aplicando a regra da subtração:
z = (3 - (-1)) + (17 - (-3))i = (3+1) + (17+3)i = 4 + 20i.

Passo 6

Verificação alternativa (juntar tudo de uma vez):
z = a+b-c = (3+8i) + (0+9i) - (-1-3i) = (3+0+1) + (8+9+3)i = 4 + 20i,
o que confirma o resultado anterior. Dica rápida para a prova: sempre some as partes reais separadamente e as imaginárias separadamente — isso evita sinais trocados.

Resposta

4+20i

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