Dados os números complexos z1=6(cos (85^circ)+i sen(85^circ)), z2=3(cos (25^circ)+i sen(25^circ)) e z3=2(cos (10^circ)+i sen(10^circ)), determine a forma algébrica:
z1 cdot z2 cdot z3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de números complexos juntos! A questão nos dá três números complexos na forma polar e pede para multiplicá-los e encontrar a forma algébrica do resultado. Para isso, vamos precisar entender como multiplicar números complexos em forma polar e depois converter o resultado para a forma algébrica usando cosseno e seno.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um número complexo na forma polar é representado como z = r (cos theta + i sin theta) , onde r é o módulo (ou tamanho) e theta é o argumento (ou ângulo). Quando multiplicamos dois números complexos nessa forma, os módulos se multiplicam e os ângulos se somam. Ou seja:
z1 cdot z2 = [r1 r2] [ cos (theta1 + theta2) + i sin (theta1 + theta2) ]

Passo 3

Vamos aplicar essa propriedade para multiplicar os três números dados:
z1 = 6 (cos 85^circ + i sin 85^circ)
z2 = 3 (cos 25^circ + i sin 25^circ)
z3 = 2 (cos 10^circ + i sin 10^circ)
Primeiro, multiplicamos z1 e z2 :
z1 cdot z2 = 6 times 3 [ cos (85^circ + 25^circ) + i sin (85^circ + 25^circ) ]
= 18 (cos 110^circ + i sin 110^circ)

Passo 4

Agora, vamos multiplicar o resultado z1 cdot z2 por z3 :
(z1 cdot z2) cdot z3 = 18 times 2 [ cos (110^circ + 10^circ) + i sin (110^circ + 10^circ) ]
= 36 (cos 120^circ + i sin 120^circ)

Passo 5

Agora que temos o resultado na forma polar 36 (cos 120^circ + i sin 120^circ) , vamos converter para a forma algébrica. Para isso, calculamos cos 120^circ e sin 120^circ :
cos 120^circ = -12
sin 120^circ = raiz32
Então:
z1 cdot z2 cdot z3 = 36 ( -12 + i raiz32 )
= 36 times -12 + 36 times i raiz32
= -18 + 18 i raiz3

Resposta

A forma algébrica de z1 cdot z2 cdot z3 é -18 + 18iraiz3 .

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