Determine o módulo dos números complexos:
3-2 i-1+i

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de números complexos! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar o módulo de 3 - 2i-1 + i. O módulo de um número complexo é como a “distância” dele até a origem no plano complexo. Para isso, a gente vai precisar lembrar como calcular o módulo de uma fração de números complexos.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a fração 3 - 2i-1 + i. Para isso, a gente multiplica o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador. O conjugado de -1 + i é -1 - i.
3 - 2i-1 + i times -1 - i-1 - i = (3 - 2i)(-1 - i)(-1 + i)(-1 - i)

Passo 3

Vamos multiplicar os numeradores e os denominadores:
Numerador:
(3 - 2i)(-1 - i) = 3 times -1 + 3 times (-i) + (-2i) times (-1) + (-2i) times (-i) = -3 - 3i + 2i + 2i^2
Sabemos que i^2 = -1, então:
-3 - 3i + 2i + 2(-1) = -3 - i - 2 = -5 - i
Denominador:
(-1 + i)(-1 - i) = (-1)^2 - (i)^2 = 1 - (-1) = 2
Então, a fração simplificada fica:
-5 - i2 = -52 - 12i

Passo 4

Agora, vamos calcular o módulo desse número complexo -52 - 12i. A fórmula do módulo é:
|a + bi| = raiza^2 + b^2
Aqui, a = -52 e b = -12.
| -52 - 12i | = raiz(-52)^2 + (-12)^2 = raiz254 + 14 = raiz264 = raiz132 = raiz262

Resposta

O módulo de 3 - 2i-1 + i é raiz262.

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