6 Dados os números 1,3 e 4, nesta ordem, determine o número que se deve somar a cada um deles para que se tenha uma progressão geométrica.

Passo 1

O enunciado pede para achar um número x que, somado a cada termo da sequência original 1,3,4, transforme os termos em uma progressão geométrica. O conteúdo é progressão geométrica, e vamos usar a razão constante entre termos consecutivos.

Passo 2

Em uma progressão geométrica, a razão entre o segundo e o primeiro termo é igual à razão entre o terceiro e o segundo termo. Logo, para os termos 1+x,\;3+x,\;4+x temos
\frac{3+x}{1+x} \;=\;\frac{4+x}{3+x}.

Passo 3

Aplicando produto cruzado na igualdade acima:
(3+x)^2 \;=\;(1+x)(4+x).

Passo 4

Expandindo os dois lados:
(3+x)^2 = x^2 +6x +9, \qquad (1+x)(4+x) = x^2 +5x +4.
Igualando e simplificando:
x^2 +6x +9 = x^2 +5x +4 \quad\Longrightarrow\quad 6x +9 = 5x +4 \quad\Longrightarrow\quad x +5 = 0.

Passo 5

Da equação x +5=0 obtemos
x = -5.
Verificação rápida: os novos termos são -4,\,-2,\,-1 e a razão \tfrac{-2}{-4}=\tfrac12 bate com \tfrac{-1}{-2}=\tfrac12, confirmando a progressão geométrica.

Resposta

-5

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