5 Determine o valor de x, de modo que os números x+1, x+4, x+10 formem, nesta ordem, uma P.G.

Passo 1

O enunciado pede o valor de x de modo que os termos
x+1,\;x+4,\;x+10
formem, nessa ordem, uma progressão geométrica (P.G.). Para resolver, vamos usar a definição de P.G.: duas razões consecutivas são iguais.

Passo 2

Em toda P.G., vale
\frac{\text{segundo termo}}{\text{primeiro termo}} = \frac{\text{terceiro termo}}{\text{segundo termo}}.
Aqui temos
\frac{x+4}{x+1} \;=\;\frac{x+10}{x+4}.
Multiplicando em cruz, obtemos
(x+4)^2 = (x+1)(x+10).

Passo 3

Agora expandimos e simplificamos:
(x+4)^2 = x^2 + 8x +16,
(x+1)(x+10) = x^2 +11x +10.
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x^2 +8x +16 = x^2 +11x +10
8x +16 = 11x +10
16 -10 = 11x -8x
6 = 3x
x = 2.

Passo 4

Verificamos que x+1\neq0 (para evitar divisão por zero). Como x=2 faz x+1=3\neq0, a solução é válida.

Resposta

x = 2

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