Escreva uma representação da função
como série de potências.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente escrever a função
como uma série de potências. Isso faz parte da matéria de Séries de Potências em Cálculo. Para resolver, vamos precisar usar a série geométrica, que é uma maneira bacana de representar funções como somas infinitas de termos com potências de
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funciona a série geométrica. A fórmula básica é:
Isso vale quando o valor absoluto de
é menor que 1, ou seja,
. Aqui,
é a razão da série.
Passo 3
Nossa função
está um pouquinho diferente da fórmula da série geométrica porque temos um
no denominador. Mas dá para ajustar! Vamos reescrever a função de forma que pareça com
:
Agora, ficou no formato certo onde
.
Passo 4
Agora que ajustamos a função para o formato da série geométrica, podemos substituir
na fórmula da série. Assim, temos:
Isso significa que estamos somando termos onde cada termo é
.
Passo 5
Vamos simplificar a expressão
:
Então, cada termo da série fica assim:
.
Passo 6
Agora, juntando tudo, a representação da função como série de potências fica:
Essa é a nossa série de potências para a função
.
Resposta
A representação da função
como série de potências é: