Escreva uma representação da função f(x)=11+2 x^5 como série de potências.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente escrever a função f(x) = 11 + 2x^5 como uma série de potências. Isso faz parte da matéria de Séries de Potências em Cálculo. Para resolver, vamos precisar usar a série geométrica, que é uma maneira bacana de representar funções como somas infinitas de termos com potências de x .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona a série geométrica. A fórmula básica é:
11 - r = sumn=0^infty r^n
Isso vale quando o valor absoluto de r é menor que 1, ou seja, |r| < 1 . Aqui, r é a razão da série.

Passo 3

Nossa função f(x) está um pouquinho diferente da fórmula da série geométrica porque temos um +2x^5 no denominador. Mas dá para ajustar! Vamos reescrever a função de forma que pareça com 11 - r :
f(x) = 11 + 2x^5 = 11 - (-2x^5)
Agora, ficou no formato certo onde r = -2x^5 .

Passo 4

Agora que ajustamos a função para o formato da série geométrica, podemos substituir r na fórmula da série. Assim, temos:
f(x) = 11 - (-2x^5) = sumn=0^infty (-2x^5)^n
Isso significa que estamos somando termos onde cada termo é (-2x^5)^n .

Passo 5

Vamos simplificar a expressão (-2x^5)^n :
(-2x^5)^n = (-2)^n cdot (x^5)^n = (-2)^n cdot x^5n
Então, cada termo da série fica assim: (-2)^n cdot x^5n .

Passo 6

Agora, juntando tudo, a representação da função como série de potências fica:
f(x) = sumn=0^infty (-2)^n x^5n
Essa é a nossa série de potências para a função f(x) .

Resposta

A representação da função f(x) = 11 + 2x^5 como série de potências é:
f(x) = sumn=0^infty (-2)^n x^5n

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