Seja Zn o grupo dos inteiros módulo n com a operação de adição. Prove que Zn é isomorfo a um grupo cíclico qualquer Cn com n elementos. Apresente o isomorfismo.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o grupo Zn (os inteiros módulo n sob adição) é isomorfo a um grupo cíclico qualquer Cn de ordem n. O conteúdo principal é teoria de grupos e isomorfismo de grupos cíclicos. Para resolver vamos definir um mapeamento natural que leva a classe de congruência de um inteiro até uma potência de um gerador de Cn e mostrar que esse mapeamento é bijetivo e preserva a operação.

Passo 2

Seja Cn=lang<= grang<= um grupo cíclico de ordem n. Definimos varphicolon Znto Cn por
varphil([k]r)=g^k,
onde [k] é a classe de k em Zn. Primeiro precisamos verificar que varphi está bem-definida: se [k]=[ell] em Zn, então kequiv ellpmodn, e como g^n=e, temos
g^k=g^ell + (k-ell)=g^elll(g^nr)^m=g^ell,,
logo varphi([k])=varphi([ell]).

Passo 3

Agora mostramos que varphi é homomorfismo de grupos. Dados [a],[b]inZn,
varphil([a]+[b]r) =varphil([a+b]r) = g^,a+b = g^a,g^b = varphil([a]r),varphil([b]r)

Passo 4

Para ver injetividade, analisamos o núcleo:
kervarphi=[k]inZnmidvarphi([k])=e =[k]mid g^k=e
Como a ordem de g é n, g^k=e se e somente se kequiv0pmodn, isto é, [k]=[0]. Logo kervarphi=[0], o que implica que varphi é injetora.

Passo 5

Como Zn e Cn têm ambos exatamente n elementos, um homomorfismo injetor entre eles é automaticamente sobrejetor. Alternativamente, para cada elemento g^iin Cn basta notar que varphi([i])=g^i, mostrando sobrejetividade.

Passo 6

Concluímos que varphi é bijetiva e preserva a operação, logo é um isomorfismo de grupos. Assim Zncong Cn.

Resposta

O isomorfismo é dado por
varphicolon Znto Cn, varphil([k]r)=g^k,
onde g é gerador de Cn.

Exercícios relacionados