Seja
o grupo dos inteiros módulo
com a operação de adição. Prove que
é isomorfo a um grupo cíclico qualquer
com
elementos. Apresente o isomorfismo.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o grupo
(os inteiros módulo
sob adição) é isomorfo a um grupo cíclico qualquer
de ordem
. O conteúdo principal é teoria de grupos e isomorfismo de grupos cíclicos. Para resolver vamos definir um mapeamento natural que leva a classe de congruência de um inteiro até uma potência de um gerador de
e mostrar que esse mapeamento é bijetivo e preserva a operação.
Passo 2
Seja
um grupo cíclico de ordem
. Definimos
por
onde
é a classe de
em
. Primeiro precisamos verificar que
está bem-definida: se
em
, então
, e como
, temos
logo
.
Passo 3
Agora mostramos que
é homomorfismo de grupos. Dados
,
Passo 4
Para ver injetividade, analisamos o núcleo:
Como a ordem de
é
,
se e somente se
, isto é,
. Logo
, o que implica que
é injetora.
Passo 5
Como
e
têm ambos exatamente
elementos, um homomorfismo injetor entre eles é automaticamente sobrejetor. Alternativamente, para cada elemento
basta notar que
, mostrando sobrejetividade.
Passo 6
Concluímos que
é bijetiva e preserva a operação, logo é um isomorfismo de grupos. Assim
.
Resposta
O isomorfismo é dado por
onde
é gerador de
.