Dados os operadores lineares abaixo:
(I)
(II)
(III)
(IV)
a) Determine o núcleo, uma base para o mesmo e a dimensão;
b) Determine a imagem, uma base para a mesma e a dimensão;
c) Responda se o operador é injetor e/ou sobrejetor, justificando;
d) Verifique se o operador é inversível, usando para justificar a resposta c ).
Passo 1
O enunciado apresenta quatro operadores lineares
(I)
(II)
(III)
(IV)
Para cada um precisamos:
a) , uma base e ;
b) , uma base e ;
c) testar injetividade e sobrejetividade;
d) decidir invertibilidade (equivalente a bijeção).
Usaremos representação matricial nas bases canônicas, o Teorema do Núcleo e Imagem (), definição de injetor (kernel trivial) e de sobrejetor (imagem espaço-alvo), e que é invertível iff é bijetor.
Passo 2
Análise de (I):
Escolhendo a base canônica de , a matriz de é
Como det(M1)neq0, temos dimker(T)=0 e dimIm(T)=3. Logo ker(T)=0, Im(T)= R^3, T é injetor e sobrejetor, portanto invertível.
Passo 3
Análise de (II):
Identificamos M2,2simeq R^4 pela base canônica E11,E12,E21,E22. Escrevendo l[a,b;c,dr]mapsto (a,b,c,d), a ação de T vira
T(a,b,c,d)=(a+b,;c+d,;a-b,;c-d)
A matriz 4times 4 em relação a essa base é
M2= 1&1&0&0 0&0&1&1 1&-1&0&0 0&0&1&-1
Resolvendo M2(a,b,c,d)=0 dá o sistema a+b=0,;a-b=0,;c+d=0,;c-d=0, que só admite a=b=c=d=0.
Então ker(T)=0 e dimIm(T)=4. Logo Im(T)= M2,2, T é injetor, sobrejetor e, portanto, invertível.
Passo 4
Análise de (III):
Em R^2 a matriz de T(x,y)=(x+y,2x-y) é
M3= 1&1 2&-1 ,
e det(M3)=1cdot(-1)-1cdot2=-3neq0.
Logo ker(T)=0, Im(T)= R^2, T é bijetor e invertível.
Passo 5
Análise de (IV):
A matriz de na base canônica é
Fazendo eliminação obtemos posto (três linhas independentes) e, pelo Teorema do Núcleo e Imagem, . Resolvendo as equações escalonadas vê-se
.
Como , não é sobrejetor e tampouco injetor, logo não é invertível.
Resposta
(I)
a) , base , .
b) , base ex. , .
c) injetor e sobrejetor.
d) invertível.
(II)
a) , base , .
b) , base canônica, .
c) injetor e sobrejetor.
d) invertível.
(III)
a) , base , .
b) , base ex. , .
c) injetor e sobrejetor.
d) invertível.
(IV)
a) , .
b) , .
c) não é injetor nem sobrejetor.
d) não é invertível.