Dados os operadores lineares abaixo:
(I) T: R^3 R^3 ; T(x, y, z)=(x-y, 2 x+y+z, z-2 x)
(II) T: M(2,2) M(2,2) ; T([lla & b c & d])=(lla+b & c+d a-b & c-d)
(III) T: R^2 R^2 ; T(x, y)=(x+y, 2 x-y)
(IV) T: R^4 R^4 ; T(x, y, z, w)=(x+y, 2 x-y, x+2 y+z+w, 2 x+y+2 z+2 w)
a) Determine o núcleo, uma base para o mesmo e a dimensão;
b) Determine a imagem, uma base para a mesma e a dimensão;
c) Responda se o operador é injetor e/ou sobrejetor, justificando;
d) Verifique se o operador é inversível, usando para justificar a resposta c ).

Passo 1

O enunciado apresenta quatro operadores lineares
(I) T: R^3to R^3
(II) T: M2,2to M2,2
(III) T: R^2to R^2
(IV) T: R^4to R^4
Para cada um precisamos:
a) ker(T), uma base e dimker(T);
b) Im(T), uma base e dimIm(T);
c) testar injetividade e sobrejetividade;
d) decidir invertibilidade (equivalente a bijeção).
Usaremos representação matricial nas bases canônicas, o Teorema do Núcleo e Imagem ( dimker+dimIm=dim V), definição de injetor (kernel trivial) e de sobrejetor (imagem = espaço-alvo), e que T é invertível iff é bijetor.

Passo 2

Análise de (I):
Escolhendo a base canônica de R^3, a matriz de T é
M1= 1 & -1 & 0 2 & 1 & 1 -2 & 0 & 1
Calculemos o determinante:
det(M1) =1cdot1&10&1 -(-1)cdot2&1-2&1 =1cdot1+1cdot(2+2)=5neq0
Como det(M1)neq0, temos dimker(T)=0 e dimIm(T)=3. Logo
ker(T)=0,
Im(T)= R^3,
T é injetor e sobrejetor, portanto invertível.

Passo 3

Análise de (II):
Identificamos M2,2simeq R^4 pela base canônica
E11,E12,E21,E22. Escrevendo
l[a,b;c,dr]mapsto (a,b,c,d), a ação de T vira
T(a,b,c,d)=(a+b,;c+d,;a-b,;c-d)
A matriz 4times 4 em relação a essa base é
M2= 1&1&0&0 0&0&1&1 1&-1&0&0 0&0&1&-1
Resolvendo M2(a,b,c,d)=0 dá o sistema
a+b=0,;a-b=0,;c+d=0,;c-d=0, que só admite a=b=c=d=0.
Então ker(T)=0 e dimIm(T)=4. Logo
Im(T)= M2,2,
T é injetor, sobrejetor e, portanto, invertível.

Passo 4

Análise de (III):
Em R^2 a matriz de T(x,y)=(x+y,2x-y) é
M3= 1&1 2&-1 ,
e
det(M3)=1cdot(-1)-1cdot2=-3neq0.
Logo ker(T)=0, Im(T)= R^2, T é bijetor e invertível.

Passo 5

Análise de (IV):
A matriz de na base canônica é
Fazendo eliminação obtemos posto (três linhas independentes) e, pelo Teorema do Núcleo e Imagem, . Resolvendo as equações escalonadas vê-se
.
Como , não é sobrejetor e tampouco injetor, logo não é invertível.

Resposta

(I)
a) , base , .
b) , base ex. , .
c) injetor e sobrejetor.
d) invertível.
(II)
a) , base , .
b) , base canônica, .
c) injetor e sobrejetor.
d) invertível.
(III)
a) , base , .
b) , base ex. , .
c) injetor e sobrejetor.
d) invertível.
(IV)
a) , .
b) , .
c) não é injetor nem sobrejetor.
d) não é invertível.

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