Sejam os operadores T: R^2 R^2 e S: R^2 R^2, tais que T(1,2)=(2,2) ; T(1,1)=(-1,-2) e S(x, y)=(2 x+4 y,-3 x-6 y).
a) Determine fórmula do operador T
b) Determinar as fórmulas de 2 T+S e T-S
c) Calcular as matrizes (em relação à base canônica) de T circ S e S circ T

Passo 1

O enunciado define dois operadores lineares em R^2:
T é tal que
T(1,2) = (2,2), T(1,1)=(-1,-2),
e
S(x,y) = (2x+4y,,-3x-6y)
Queremos (a) a fórmula de T, (b) as fórmulas de 2T+S e T-S, e (c) as matrizes de Tcirc S e Scirc T na base canônica. Vamos usar linearidade para obter a matriz de T, depois operar com S e enfim multiplicar matrizes.

Passo 2

Para achar a matriz de T na base canônica, escrevemos
a=T(e1) e b=T(e2).
Pela linearidade:
T(1,2)=T(e1+2e2)=a+2b=(2,2),
T(1,1)=T(e1+e2)=a+b=(-1,-2)
Subtraindo a segunda da primeira:
b=(2,2)-(-1,-2)=(3,4).
Logo a=(-1,-2)-b=(-4,-6).
Portanto
MT=-4 & 3-6 & 4,
e
T(x,y)=(-4x+3y,,-6x+4y)

Passo 3

O operador 2T+S age em (x,y) por
(2T+S)(x,y)=2T(x,y)+S(x,y) =2(-4x+3y,-6x+4y)+(2x+4y,-3x-6y) =(-6x+10y,,-15x+2y)

Passo 4

O operador T-S age em (x,y) por
(T-S)(x,y)=T(x,y)-S(x,y) =(-4x+3y,-6x+4y)-(2x+4y,-3x-6y) =(-6x-y,,-3x+10y)

Passo 5

Já temos
MT=-4 & 3-6 & 4, MS=2 & 4-3 & -6
Então
MTcirc S=MT,MS =-4 & 3-6 & 4 2 & 4-3 & -6 =-17 & -34-24 & -48,
MScirc T=MS,MT =2 & 4-3 & -6 -4 & 3-6 & 4 =-32 & 2248 & -33

Resposta

a) T(x,y)=(-4x+3y,,-6x+4y)
b) (2T+S)(x,y)=(-6x+10y,,-15x+2y) e (T-S)(x,y)=(-6x-y,,-3x+10y)
c)
MTcirc S=-17 & -34-24 & -48, MScirc T=-32 & 2248 & -33

Exercícios relacionados