Sejam os operadores
e
, tais que
e
.
a) Determine fórmula do operador
b) Determinar as fórmulas de
e
c) Calcular as matrizes (em relação à base canônica) de
e
a) Determine fórmula do operador
b) Determinar as fórmulas de
c) Calcular as matrizes (em relação à base canônica) de
Passo 1
O enunciado define dois operadores lineares em
:
é tal que
e
Queremos (a) a fórmula de
, (b) as fórmulas de
e
, e (c) as matrizes de
e
na base canônica. Vamos usar linearidade para obter a matriz de
, depois operar com
e enfim multiplicar matrizes.
Passo 2
Para achar a matriz de
na base canônica, escrevemos
e
.
Pela linearidade:
Pela linearidade:
Subtraindo a segunda da primeira:
.
Logo .
Portanto
Logo
Portanto
e
Passo 3
O operador
age em
por
Passo 4
O operador
age em
por
Passo 5
Já temos
Então
Resposta
a)
b) e
c)
b)
c)