Seja
o subespaço de
com a base
(a) Ache uma base ortogonal de
. (Valor: 1,5 ponto)
(b) Ache uma base ortonormal de
. (Valor: 0,5 ponto)
(c) Ache a projeção ortogonal de
em
. (Valor: 1,5 ponto)
(b) Ache uma base ortonormal de
(c) Ache a projeção ortogonal de
Passo 1
O enunciado pede três coisas para o subespaço
gerado por
(a) uma base ortogonal de
, (b) uma base ortonormal de
e (c) a projeção ortogonal de
em
.
Vamos usar o processo de Gram–Schmidt para obter primeiro uma base ortogonal, depois normalizar para ficar ortonormal, e por fim calcular a projeção usando a base ortonormal.
Vamos usar o processo de Gram–Schmidt para obter primeiro uma base ortogonal, depois normalizar para ficar ortonormal, e por fim calcular a projeção usando a base ortonormal.
Passo 2
Definimos o primeiro vetor do processo de Gram–Schmidt como
Ele já está ortogonal “por si só”.
Passo 3
Subtraímos dela a projeção de
em
:
Passo 4
Agora subtraímos de
as projeções em
e
:
Cálculo de
:
Logo,
Para ficar sem frações, escalamos por 6 e definimos
que também é ortogonal a
e
.
Passo 5
Concluímos que
é uma base ortogonal de
.
Passo 6
Para a base ortonormal, normalizamos cada vetor:
Assim, uma base ortonormal é
Passo 7
Para a projeção ortogonal de
em
usamos
Cálculos rápidos mostram:
Então cada termo simplifica e, somando, chega-se a
Resposta
(a) Uma base ortogonal de
é
(b) Uma base ortonormal de
é
(c) A projeção ortogonal de
em
é