Seja V o subespaço de \mathbb{R}^{4} com a base
\mathbf{v}_{1}=(1,1,1,1), \quad \mathbf{v}_{2}=(1,-1,2,2), \quad \mathbf{v}_{3}=(1,2,-3,-4) .
(a) Ache uma base ortogonal de V. (Valor: 1,5 ponto)
(b) Ache uma base ortonormal de V. (Valor: 0,5 ponto)
(c) Ache a projeção ortogonal de \mathbf{b}=(1,2,-3,4) em V. (Valor: 1,5 ponto)

Passo 1

O enunciado pede três coisas para o subespaço V\subset\mathbb{R}^4 gerado por
\mathbf v_1=(1,1,1,1),\quad \mathbf v_2=(1,-1,2,2),\quad \mathbf v_3=(1,2,-3,-4):
(a) uma base ortogonal de V, (b) uma base ortonormal de V e (c) a projeção ortogonal de \mathbf b=(1,2,-3,4) em V.
Vamos usar o processo de Gram–Schmidt para obter primeiro uma base ortogonal, depois normalizar para ficar ortonormal, e por fim calcular a projeção usando a base ortonormal.

Passo 2

Definimos o primeiro vetor do processo de Gram–Schmidt como
\mathbf w_1 = \mathbf v_1 = (1,1,1,1).
Ele já está ortogonal “por si só”.

Passo 3

Subtraímos dela a projeção de \mathbf v_2 em \mathbf w_1:
\langle \mathbf v_2,\mathbf w_1\rangle = 1-1+2+2=4,\qquad \langle \mathbf w_1,\mathbf w_1\rangle = 4,
\mathbf w_2 = \mathbf v_2 - \frac{\langle \mathbf v_2,\mathbf w_1\rangle}{\langle \mathbf w_1,\mathbf w_1\rangle}\,\mathbf w_1 = (1,-1,2,2) - 1\,(1,1,1,1) = (0,-2,1,1).

Passo 4

Agora subtraímos de \mathbf v_3 as projeções em \mathbf w_1 e \mathbf w_2:
\langle \mathbf v_3,\mathbf w_1\rangle = 1+2-3-4=-4,\quad \langle \mathbf w_2,\mathbf w_2\rangle = 0+4+1+1=6,
\mathbf w_3 = \mathbf v_3 - \frac{-4}{4}\,\mathbf w_1 - \frac{\langle \mathbf v_3,\mathbf w_2\rangle}{6}\,\mathbf w_2.
Cálculo de \langle \mathbf v_3,\mathbf w_2\rangle:
1\cdot0 + 2\cdot(-2) +(-3)\cdot1+(-4)\cdot1 = -11.
Logo,
\mathbf w_3 = (1,2,-3,-4) - (-1,-1,-1,-1) - \frac{-11}{6}(0,-2,1,1) = (2,-\tfrac23,-\tfrac16,-\tfrac76).
Para ficar sem frações, escalamos por 6 e definimos
\mathbf w_3' = 6\,\mathbf w_3 = (12,-4,-1,-7),
que também é ortogonal a \mathbf w_1 e \mathbf w_2.

Passo 5

Concluímos que
\{\mathbf w_1,\mathbf w_2,\mathbf w_3'\} = \{(1,1,1,1),\,(0,-2,1,1),\,(12,-4,-1,-7)\}
é uma base ortogonal de V.

Passo 6

Para a base ortonormal, normalizamos cada vetor:
\|\mathbf w_1\|=2,\quad \|\mathbf w_2\|=\sqrt6,\quad \|\mathbf w_3'\|=\sqrt{12^2+(-4)^2+(-1)^2+(-7)^2}=\sqrt{210}.
Assim, uma base ortonormal é
\mathbf e_1 = \frac1{2}(1,1,1,1),\quad \mathbf e_2 = \frac1{\sqrt6}(0,-2,1,1),\quad \mathbf e_3 = \frac1{\sqrt{210}}(12,-4,-1,-7).

Passo 7

Para a projeção ortogonal de \mathbf b em V usamos
\operatorname{proj}_V(\mathbf b) = \sum_{i=1}^{3}\langle \mathbf b,\mathbf e_i\rangle\,\mathbf e_i.
Cálculos rápidos mostram:
\langle \mathbf b,\mathbf e_1\rangle = 2,\quad \langle \mathbf b,\mathbf e_2\rangle = -\frac{3}{\sqrt6},\quad \langle \mathbf b,\mathbf e_3\rangle = -\frac{\sqrt{210}}{10}.
Então cada termo simplifica e, somando, chega-se a
\operatorname{proj}_V(\mathbf b) = \bigl(-\tfrac15,\;\tfrac{12}{5},\;\tfrac35,\;\tfrac65\bigr).

Resposta

(a) Uma base ortogonal de V é
\{(1,1,1,1),\;(0,-2,1,1),\;(12,-4,-1,-7)\}.
(b) Uma base ortonormal de V é
\Bigl\{\tfrac12(1,1,1,1),\;\tfrac1{\sqrt6}(0,-2,1,1),\;\tfrac1{\sqrt{210}}(12,-4,-1,-7)\Bigr\}.
(c) A projeção ortogonal de \mathbf b=(1,2,-3,4) em V é
\operatorname{proj}_V(\mathbf b) =\bigl(-\tfrac15,\;\tfrac{12}{5},\;\tfrac35,\;\tfrac65\bigr).

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