Marque (V) verdadeiro ou (F) falso para as afirmativas abaixo (não é necessário demonstrar). A questão será avaliada da seguinte forma: 0,4 ponto por item correto,
ponto por item incorreto e 0 ponto por item em branco, sendo a nota mínima da questão igual a zero. (vale 2,0 pontos)
( ) Matrizes semelhantes possuem os mesmos autovetores.
( ) Seja
uma base de
, se o operador linear
é inversível, então
é também uma base de
.
( ) Seja
um espaço vetorial euclidiano. Um operador linear
é simétrico se preserva o módulo de cada vetor.
( ) Seja
um operador linear não inversível. Os vetores não-nulos do núcleo de
são autovetores associados ao autovalor
.
( )Se
é um operador linear, com
e T possui n autovalores distintos, o conjunto
, formado pelos correspondentes autovetores é uma base de V .
( ) Matrizes semelhantes possuem os mesmos autovetores.
( ) Seja
( ) Seja
( ) Seja
( )Se
Passo 1
O enunciado apresenta cinco afirmações sobre autovalores, autovetores, operadores lineares e similaridade de matrizes. O conteúdo envolve álgebra linear: similaridade de matrizes, propriedades de transformações lineares invertíveis, operadores simétricos, núcleo de operadores e bases formadas por autovetores. Vamos analisar cada item e marcar Verdadeiro (V) ou Falso (F).
Passo 2
Afirmação: “Matrizes semelhantes possuem os mesmos autovetores.”
Uma matriz semelhante a
satisfaz
. Se
é autovetor de
, então
, mas o autovetor correspondente de
é
, não
. Ou seja, elas têm os mesmos autovalores, mas, em geral, autovetores diferentes.
Portanto o item é (F).
Uma matriz
Portanto o item é (F).
Passo 3
Afirmação: “Seja
uma base de
. Se o operador linear
é invertível, então
é também uma base de
.”
Teorema: um operador linear invertível envia qualquer base em outra base. Logo, é base.
Portanto o item é (V).
Teorema: um operador linear invertível envia qualquer base em outra base. Logo,
Portanto o item é (V).
Passo 4
Afirmação: “Seja
um espaço vetorial euclidiano. Um operador linear
é simétrico se preserva o módulo de cada vetor.”
Definição: operador simétrico (auto-adjunto) satisfaz . O que preserva normas é exatamente operador ortogonal, não simétrico em geral.
Portanto o item é (F).
Definição: operador simétrico (auto-adjunto) satisfaz
Portanto o item é (F).
Passo 5
Afirmação: “Seja
um operador linear não invertível. Os vetores não-nulos do núcleo de
são autovetores associados ao autovalor
.”
Para em
temos
. Isso é exatamente a definição de autovetor para
.
Portanto o item é (V).
Para
Portanto o item é (V).
Passo 6
Afirmação: “Se
é um operador linear, com
e
possui
autovalores distintos, o conjunto
, formado pelos correspondentes autovetores, é uma base de
.”
Propriedade: autovetores de autovalores distintos são linearmente independentes. Com vetores em dimensão
, formam base.
Portanto o item é (V).
Propriedade: autovetores de autovalores distintos são linearmente independentes. Com
Portanto o item é (V).
Resposta
(F)
(V)
(F)
(V)
(V)
(V)
(F)
(V)
(V)