Marque (V) verdadeiro ou (F) falso para as afirmativas abaixo (não é necessário demonstrar). A questão será avaliada da seguinte forma: 0,4 ponto por item correto, -0,2 ponto por item incorreto e 0 ponto por item em branco, sendo a nota mínima da questão igual a zero. (vale 2,0 pontos)
( ) Matrizes semelhantes possuem os mesmos autovetores.
( ) Seja B=\left\{v_{1}, v_{2}, v_{3}\right\} uma base de \mathbb{R}^{3}, se o operador linear T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} é inversível, então T(B) =\left\{\mathrm{T}\left(\mathrm{v}_{1}\right), \mathrm{T}\left(\mathrm{v}_{2}\right), \mathrm{T}\left(\mathrm{v}_{3}\right)\right\} é também uma base de \mathrm{IR}^{3}.
( ) Seja V um espaço vetorial euclidiano. Um operador linear T: V \rightarrow V é simétrico se preserva o módulo de cada vetor.
( ) Seja T: V \rightarrow V um operador linear não inversível. Os vetores não-nulos do núcleo de T são autovetores associados ao autovalor \lambda=0.
( )Se \mathrm{T}: \mathrm{V} \rightarrow \mathrm{V} é um operador linear, com \operatorname{dim} \mathrm{V}=\mathrm{n} e T possui n autovalores distintos, o conjunto \left\{\mathrm{v}_{1}, \mathrm{v}_{2}, \ldots, \mathrm{v}_{\mathrm{n}}\right\}, formado pelos correspondentes autovetores é uma base de V .

Passo 1

O enunciado apresenta cinco afirmações sobre autovalores, autovetores, operadores lineares e similaridade de matrizes. O conteúdo envolve álgebra linear: similaridade de matrizes, propriedades de transformações lineares invertíveis, operadores simétricos, núcleo de operadores e bases formadas por autovetores. Vamos analisar cada item e marcar Verdadeiro (V) ou Falso (F).

Passo 2

Afirmação: “Matrizes semelhantes possuem os mesmos autovetores.”
Uma matriz A semelhante a B satisfaz B=P^{-1}AP. Se v é autovetor de A, então Av=\lambda v, mas o autovetor correspondente de B é P^{-1}v, não v. Ou seja, elas têm os mesmos autovalores, mas, em geral, autovetores diferentes.
Portanto o item é (F).

Passo 3

Afirmação: “Seja B=\{v_{1},v_{2},v_{3}\} uma base de \mathbb{R}^{3}. Se o operador linear T:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3} é invertível, então T(B)=\{T(v_{1}),T(v_{2}),T(v_{3})\} é também uma base de \mathbb{R}^{3}.”
Teorema: um operador linear invertível envia qualquer base em outra base. Logo, T(B) é base.
Portanto o item é (V).

Passo 4

Afirmação: “Seja V um espaço vetorial euclidiano. Um operador linear T:V\to V é simétrico se preserva o módulo de cada vetor.”
Definição: operador simétrico (auto-adjunto) satisfaz \langle T(u),v\rangle=\langle u,T(v)\rangle. O que preserva normas é exatamente operador ortogonal, não simétrico em geral.
Portanto o item é (F).

Passo 5

Afirmação: “Seja T:V\to V um operador linear não invertível. Os vetores não-nulos do núcleo de T são autovetores associados ao autovalor \lambda=0.”
Para v\neq0 em \ker T temos T(v)=0=\;0\cdot v. Isso é exatamente a definição de autovetor para \lambda=0.
Portanto o item é (V).

Passo 6

Afirmação: “Se T:V\to V é um operador linear, com \dim V=n e T possui n autovalores distintos, o conjunto \{v_{1},v_{2},\dots,v_{n}\}, formado pelos correspondentes autovetores, é uma base de V.”
Propriedade: autovetores de autovalores distintos são linearmente independentes. Com n vetores em dimensão n, formam base.
Portanto o item é (V).

Resposta

(F)
(V)
(F)
(V)
(V)

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