Marque a alternativa correta (não é necessário demonstrar):
I) A transformação linear (composta) de \mathrm{IR}^{2} \mathrm{em} \mathrm{IR}^{2} que representa a sequência de transformações dadas: cisalhamento na direção horizontal de fator 3 , seguida de dilatação na direção vertical por um fator 2 é dada por: (vale 1,0 ponto)
(a) T: IR { }^{2} \rightarrow I R^{2}, T(x, y)=(x+6 y, 2 y)
(b) \mathrm{T}: \mathrm{IR}^{2} \rightarrow \mathrm{IR}^{2}, \mathrm{~T}(\mathrm{x}, \mathrm{y})=(\mathrm{x}+3 \mathrm{y}, 2 \mathrm{y})
(c) \mathrm{T}: \mathrm{IR}^{2} \rightarrow \mathrm{IR}^{2}, \mathrm{~T}(\mathrm{x}, \mathrm{y})=(3 \mathrm{x}, 2 \mathrm{y})
(d) Nenhuma das respostas anteriores.

Passo 1

O enunciado pede a transformação linear composta em \mathbb{R}^2 que primeiro faz um cisalhamento horizontal de fator 3 e depois uma dilatação vertical de fator 2.

Passo 2

Seja (x,y) um vetor genérico. Após o cisalhamento horizontal de fator 3, temos
(x,y)\mapsto (x+3y,\;y).
Em seguida, aplicando dilatação vertical de fator 2,
(x+3y,\;y)\mapsto (x+3y,\;2y).
Logo, a transformação composta é
T(x,y)=(x+3y,\;2y).

Passo 3

Comparando com as alternativas, vemos que T(x,y)=(x+3y,2y) coincide com a opção (b).

Resposta

(b)

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