Aqui usei que \dfrac{x-2^{n}}{3^{n}}=\dfrac{x}{3^{n}}-\dfrac{2^{n}}{3^{n}}. Para concluir que a série original converge é suficiente mostrar que as duas séries à direita convergem (pois então a diferença também converge).
Passo 3
Analisemos a primeira série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x}{3^{n}}.
Como x é constante em relação a n, podemos fatorar:
A soma \sum_{n=1}^{\infty}r^{n} é uma série geométrica que converge exatamente quando |r|<1, e nesse caso seu valor é
\sum_{n=1}^{\infty}r^{n}=\frac{r}{1-r}.
(Justificação rápida: se S=\sum_{n=1}^\infty r^n então rS=\sum_{n=2}^\infty r^n; subtraindo obtém-se S(1-r)=r.)
Aqui r=\dfrac{1}{3} e |r|=\dfrac{1}{3}<1, portanto a série converge e tem soma
A conclusão da convergência não impõe restrição sobre x: para qualquer valor real de x a série converge (pois a única dependência em x é um fator constante multiplicando uma série geométrica com razão 1/3).
Passo 6
Comentário final de reforço: ambas as séries separadas são geométricas com razão de módulo menor que 1, logo são absolutamente convergentes. Isso garante segurança: podemos somar e multiplicar por constantes sem problemas. Um exemplo numérico rápido: se x=100, a soma será \dfrac{100}{2}-2=50-2=48.