Para quais valores de x a série \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\left(x-2^{n}\right)}{3^{n}} converge?

Passo 1

O enunciado dá a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\left(x-2^{n}\right)}{3^{n}}
e pergunta para quais valores de x essa série converge. Informações relevantes fornecidas:
  • A soma é indexada por n=1,2,3,\dots.
  • A expressão do termo geral depende de x e de n como \dfrac{x-2^{n}}{3^{n}}.
    A tarefa é determinar os valores de x que fazem a série convergir.

Passo 2

Primeira ideia útil (linearidade de séries): podemos separar a série em duas séries mais simples, se ambas convergirem. Escrevemos
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x-2^{n}}{3^{n}} = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{x}{3^{n}}-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^{n}}{3^{n}}.
Aqui usei que \dfrac{x-2^{n}}{3^{n}}=\dfrac{x}{3^{n}}-\dfrac{2^{n}}{3^{n}}. Para concluir que a série original converge é suficiente mostrar que as duas séries à direita convergem (pois então a diferença também converge).

Passo 3

Analisemos a primeira série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x}{3^{n}}.
Como x é constante em relação a n, podemos fatorar:
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x}{3^{n}} = x\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{3}\right)^{n}.
A soma \sum_{n=1}^{\infty}r^{n} é uma série geométrica que converge exatamente quando |r|<1, e nesse caso seu valor é
\sum_{n=1}^{\infty}r^{n}=\frac{r}{1-r}.
(Justificação rápida: se S=\sum_{n=1}^\infty r^n então rS=\sum_{n=2}^\infty r^n; subtraindo obtém-se S(1-r)=r.)
Aqui r=\dfrac{1}{3} e |r|=\dfrac{1}{3}<1, portanto a série converge e tem soma
x\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{3}\right)^{n}=x\cdot\frac{\tfrac{1}{3}}{1-\tfrac{1}{3}}=x\cdot\frac{1/3}{2/3}=x\cdot\frac{1}{2}=\frac{x}{2}.
Observe que essa conclusão vale para qualquer x\in\mathbb{R}: o fator x não afeta a condição |r|<1.

Passo 4

Agora a segunda série:
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^{n}}{3^{n}}=\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{2}{3}\right)^{n}.
Isto é outra série geométrica com r=\dfrac{2}{3}. Como \left|\dfrac{2}{3}\right|<1, essa série também converge e sua soma é
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{2}{3}\right)^{n}=\frac{\tfrac{2}{3}}{1-\tfrac{2}{3}}=\frac{2/3}{1/3}=2.

Passo 5

Como ambas as séries componentes convergem (a primeira para \dfrac{x}{2}, a segunda para 2), a série original converge, e seu valor é
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x-2^{n}}{3^{n}}=\frac{x}{2}-2.
A conclusão da convergência não impõe restrição sobre x: para qualquer valor real de x a série converge (pois a única dependência em x é um fator constante multiplicando uma série geométrica com razão 1/3).

Passo 6

Comentário final de reforço: ambas as séries separadas são geométricas com razão de módulo menor que 1, logo são absolutamente convergentes. Isso garante segurança: podemos somar e multiplicar por constantes sem problemas. Um exemplo numérico rápido: se x=100, a soma será \dfrac{100}{2}-2=50-2=48.

Resposta

Para todo \,x\in\mathbb{R}\,.

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