Dados P(1,-4,5), s:(x, y, z)=(1,0,1)+t(2,1,-1) ; t in R e alpha: x-3 y+z-8=0, determine, justificando:
uma equação da reta m que satisfaz às três condições:
(i) d(P, m)=0
(ii) d(m, s)=0
(iii) d(m, alpha)=d(P, alpha)

Passo 1

O enunciado dá o ponto P=(1,-4,5), a reta
s:;(x,y,z)=(1,0,1)+t,(2,1,-1),
e o plano
alpha:;x-3y+z-8=0
Queremos achar a reta m que satisfaz:
(i) d(P,m)=0 (ou seja, Pin m),
(ii) d(m,s)=0 (ou seja, m intersecta s),
(iii) d(m,alpha)=d(P,alpha) (distância da reta ao plano igual à de P ao plano).

Passo 2

Primeiro calculamos a distância de P ao plano alpha. O vetor normal de alpha é
n=(1,,-3,;1),
logo
d(P,alpha) =l|1-3(-4)+5-8r||n| =|1+12+5-8|raiz1^2+(-3)^2+1^2 =10raiz11

Passo 3

Como d(m,alpha)=d(P,alpha)>0, a reta m não pode cortar alpha e deve ser paralela a alpha. Portanto seu vetor diretor vm satisfaz
vmcdot n=0

Passo 4

Para que d(P,m)=0 e d(m,s)=0, a reta m deve passar por P e intersectar s em algum ponto Q. Seja
Q=(1+2t,;t,;1-t),
um ponto genérico de s. Então um possível vetor diretor de m é
vm=Q-P=(2t,;t+4,;-t-4)

Passo 5

Impondo vmcdot n=0 temos
(2t)cdot1+(t+4)cdot(-3)+(-t-4)cdot1=0 ;Longrightarrow;-2t-16=0 ;Longrightarrow;t=-8
Assim
Q=(-15,,-8,;9), vm=Q-P=(-16,,-4,;4)sim(4,1,-1)
Logo a equação paramétrica de m é
m:;(x,y,z)=(1,-4,5)+u,(4,1,-1), uinR

Resposta

m:;(x,y,z)=(1,-4,5)+u,(4,1,-1)

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