Verifique, em cada caso, se os conjuntos dados são subespaços vetoriais:
V=P2(R), espaço de todos os polinômios reais de grau <= 2, com as operações usuais, e
ii. S2=p in V mid a soma dos coeficientes de p é zero .

Passo 1

O enunciado pede para verificar se cada um dos conjuntos abaixo é subespaço de V = P2(R):
1. O próprio espaço V.
2. O subconjunto
S2 = lp(x)=ax^2+bx+cin V mid a+b+c=0r
O conteúdo aqui é teste de subespaço vetorial.

Passo 2

O critério padrão para um subconjunto W de um espaço vetorial V ser subespaço é:
1. 0V in W.
2. Para quaisquer u,v in W, temos u+v in W.
3. Para qualquer escalar lambda e u in W, temos lambda u in W.

Passo 3

Verificando V = P2(R):
1. O polinômio zero 0(x)=0 está em V.
2. A soma de dois polinômios de grau <=2 tem grau <=2, logo fechada em adição.
3. O múltiplo escalar de qualquer polinômio de grau <=2 continua com grau <=2.
Portanto, V é subespaço de si mesmo.

Passo 4

Verificando S2:
1. O polinômio zero tem coeficientes (0,0,0) e 0+0+0=0, logo 0in S2.
2. Se p(x)=ax^2+bx+c e q(x)=dx^2+ex+f estão em S2, então
a+b+c=0 e d+e+f=0
A soma tem coeficientes (a+d,;b+e,;c+f) e
(a+d)+(b+e)+(c+f) =(a+b+c)+(d+e+f)=0+0=0,
logo p+qin S2.
3. Para escalar lambda e p(x)=ax^2+bx+cin S2, a soma dos coeficientes de lambda p é
lambda a+lambda b+lambda c=lambda(a+b+c)=lambdacdot0=0,
logo lambda pin S2.

Resposta

Tanto V=P2(R) quanto S2 são subespaços vetoriais de P2(R).

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