Verifique, em cada caso, se os conjuntos dados são subespaços vetoriais:
, espaço de todos os polinômios reais de grau
, com as operações usuais, e
ii.
a soma dos coeficientes de
é zero
.
ii.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se cada um dos conjuntos abaixo é subespaço de
:
. O próprio espaço
.
. O subconjunto
O conteúdo aqui é teste de subespaço vetorial.
Passo 2
O critério padrão para um subconjunto
de um espaço vetorial
ser subespaço é:
.
.
. Para quaisquer
, temos
.
. Para qualquer escalar
e
, temos
.
Passo 3
Verificando
:
. O polinômio zero
está em
.
. A soma de dois polinômios de grau
tem grau
, logo fechada em adição.
. O múltiplo escalar de qualquer polinômio de grau
continua com grau
.
Portanto, é subespaço de si mesmo.
Portanto,
Passo 4
Verificando
:
. O polinômio zero tem coeficientes
e
, logo
.
. Se
e
estão em
, então
A soma tem coeficientes
e
logo
.
. Para escalar
e
, a soma dos coeficientes de
é
,
logo .
logo
Resposta
Tanto
quanto
são subespaços vetoriais de
.