Dados u=(1,4,5), v=(3,3,-2) e w=(-5,7,1), pede-se:
(a) lang<= u, vrang<=,
(b) lang<= w, urang<=,
(c) lang<= 3 u, 2 wrang<=
(d) <3 u-4 v, 5 w>,
(e)<u, v>w.

Passo 1

O enunciado pede para calcular vários produtos internos (ou combinações deles) em R^3. Vamos usar a definição do produto interno entre dois vetores a=(a1,a2,a3) e b=(b1,b2,b3):
lang<= a,brang<= = a1b1 + a2b2 + a3b3
Dados
u=(1,4,5), v=(3,3,-2), w=(-5,7,1),
vamos aplicar essa definição para cada item.

Passo 2

Para (a) lang<= u,vrang<= calculamos componente a componente:
lang<= u,vrang<= = 1cdot3 + 4cdot3 + 5cdot(-2) = 3 + 12 -10 = 5

Passo 3

Para (b) lang<= w,urang<= fazemos o mesmo:
lang<= w,urang<= = (-5)cdot1 + 7cdot4 + 1cdot5 = -5 + 28 + 5 = 28

Passo 4

Para (c) lang<= 3u,2wrang<= primeiro escalonamos os vetores e depois aplicamos o produto interno:
3u=(3,12,15), 2w=(-10,14,2),
lang<= 3u,2wrang<= = 3cdot(-10) + 12cdot14 + 15cdot2 = -30 + 168 + 30 = 168

Passo 5

Para (d) lang<= 3u-4v,,5wrang<= primeiro obtemos
3u-4v = (3,12,15) - (12,12,-8) = (-9,0,23), 5w = (-25,35,5),
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lang<= 3u-4v,5wrang<= = (-9)cdot(-25) + 0cdot35 + 23cdot5 = 225 + 0 + 115 = 340

Passo 6

Para (e) lang<= u,vrang<=,w primeiro usamos o resultado de (a), que foi 5, e escalonamos w:
lang<= u,vrang<=,w = 5,(-5,7,1) = (-25,35,5)

Resposta

(a) ,5
(b) ,28
(c) ,168
(d) ,340
(e) ,(-25,35,5)

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