Sejam u=(2,-4,6), v=(-3,12,-4) e w=(6,3,-1). Determine o vetor x tal que:
(a) x=u+v,
(b) x=3 u+2 w,
(c) x=2 u-v,
(d) x=2(u+v)+3 w,
(e) x=2(3 u+2 w)-3(5 v),
(f) u+2 v=x-w,
(g) 3(u+2 x)=4 x+2 w.

Passo 1

O enunciado fornece os vetores u=(2,-4,6), v=(-3,12,-4) e w=(6,3,-1). Para cada item, precisamos calcular combinações lineares ou resolver equações envolvendo esses vetores. Vamos usar operações de adição vetorial e multiplicação escalar, aplicando-as coordenada a coordenada.

Passo 2

Para o item (a) temos x = u + v. Então
x = (2,-4,6) + (-3,12,-4) = (2-3,,-4+12,,6-4) = (-1,8,2)

Passo 3

Para o item (b) temos x = 3u + 2w. Calculando:
x = 3,(2,-4,6) + 2,(6,3,-1) = (6,-12,18) + (12,6,-2) = (18,-6,16)

Passo 4

Para o item (c) temos x = 2u - v. Logo:
x = 2,(2,-4,6) - (-3,12,-4) = (4,-8,12) + (3,-12,4) = (7,-20,16)

Passo 5

Para o item (d) temos x = 2(u+v) + 3w. Primeiro u+v = (-1,8,2) do item (a), então
2(u+v) = (-2,16,4), 3w = (18,9,-3),
x = (-2,16,4) + (18,9,-3) = (16,25,1)

Passo 6

Para o item (e) temos x = 2(3u+2w) - 3(5v). Do item (b), 3u+2w = (18,-6,16), então
2(3u+2w) = (36,-12,32), 5v = (-15,60,-20), 3(5v) = (-45,180,-60),
x = (36,-12,32) - (-45,180,-60) = (36+45,,-12-180,,32+60) = (81,-192,92)

Passo 7

Para o item (f) temos u + 2v = x - w, logo
x = u + 2v + w = (2,-4,6) + 2(-3,12,-4) + (6,3,-1)
Calculando em coordenadas:
u + 2v = (-4,20,-2), u+2v+w = (-4+6,,20+3,,-2-1) = (2,23,-3)

Passo 8

Para o item (g) temos a equação
3(u+2x) = 4x + 2w
Desenvolvendo,
3u + 6x = 4x + 2w Longrightarrow 6x - 4x = 2w - 3u Longrightarrow 2x = 2w - 3u
Logo
x = 2w - 3u2 = w - 32u = (6,3,-1) - (3,-6,9) = (3,9,-10)

Resposta

(a) x = (-1,8,2)
(b) x = (18,-6,16)
(c) x = (7,-20,16)
(d) x = (16,25,1)
(e) x = (81,-192,92)
(f) x = (2,23,-3)
(g) x = (3,9,-10)

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