Dados os vetores no plano u=2 i-5 j e v=i+j, pede-se:
(a) o vetor soma u+v;
(b) |u+v|;
(c) o vetor diferença u-v;
(d) o vetor 3 u-2 v;
(e) o produto interno lang<= u, vrang<=;
(f) o ângulo formado pelos vetores u e v.

Passo 1

O enunciado dá os vetores no plano
u = 2vec i - 5vec j, v = vec i + vec j
e pede: soma, norma da soma, diferença, combinação linear, produto interno e ângulo entre eles. O conteúdo é operações elementares com vetores em R^2, norma, produto interno e a fórmula do cosseno para o ângulo.

Passo 2

Vamos representar cada vetor por suas componentes no par ordenado:
u = (2,,-5), v = (1,,1)

Passo 3

Para a soma u+v somamos componente a componente:
u+v = (2+1,,-5+1) = (3,,-4)
A norma de u+v é
|u+v| = raiz3^2 + (-4)^2 = raiz9+16 = 5

Passo 4

A diferença u-v fica
u-v = (2-1,,-5-1) = (1,,-6)

Passo 5

A combinação 3u - 2v é
3u - 2v = 3,(2,,-5) ;-;2,(1,,1) = (6,,-15) - (2,,2) = (4,,-17)

Passo 6

O produto interno é
lang<= u,vrang<= = 2cdot1 + (-5)cdot1 = 2 - 5 = -3

Passo 7

Para o ângulo theta usamos
costheta = lang<= u,vrang<=|u|;|v|
Aqui |u|=raiz2^2+(-5)^2=raiz29 e |v|=raiz1^2+1^2=raiz2, logo
costheta = -3raiz29,raiz2 = -3raiz58,
theta = arccos!l(-3raiz58r)approx 112,3^circ

Resposta

(a) (3, -4)\n(b) 5\n(c) (1, -6)\n(d) (4, -17)\n(e) -3\n(f) theta = arccosl(-3/raiz58r) approx 112,3^circ

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