Dados u=(4,1,5), v=(2,1,3) e w=(6,2,1), pede-se determinar os escalares alpha, beta e gamma tais que
alpha u+beta v+gamma w=0=(0,0,0)

Passo 1

O enunciado dá os vetores u=(4,1,5), v=(2,1,3) e w=(6,2,1) e pede escalares alpha, beta, gamma tais que a combinação linear seja o vetor nulo. O conteúdo é resolução de sistema linear homogêneo, que mostrará se há apenas a solução trivial ou não.

Passo 2

Escrevemos o sistema correspondente a
alphau+betav+gammaw=0
como
4alpha + 2beta + 6gamma = 0, alpha + beta + 2gamma = 0, 5alpha + 3beta + gamma = 0

Passo 3

Da segunda equação isolamos alpha:
alpha = -beta - 2gamma
Substituindo em 4alpha + 2beta + 6gamma=0 obtemos
4(-beta-2gamma)+2beta+6gamma=0 Longrightarrow -4beta-8gamma+2beta+6gamma=0 Longrightarrow -2beta-2gamma=0 Longrightarrow beta=-gamma
Então alpha=-(-gamma)-2gamma=-gamma.

Passo 4

Agora substituímos alpha=-gamma e beta=-gamma na terceira equação:
5(-gamma)+3(-gamma)+gamma=0 Longrightarrow -5gamma-3gamma+gamma=-7gamma=0 Longrightarrow gamma=0
Logo beta=-gamma=0 e alpha=-gamma=0.

Resposta

alpha=0,;beta=0,;gamma=0.

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