Dados os planos A B C e D E F, distintos, mostre que se os vetores associados a um deles puderem ser escritos como combinações lineares dos vetores associados ao outro, então eles são paralelos, ou seja, não têm pontos em comum.

Passo 1

O enunciado considera dois planos ABC e DEF em R^3, cada um determinado por três pontos não colineares. Os vetores direção do plano ABC são
AB e AC,
e os vetores direção do plano DEF são
DE e DF.
A hipótese é que os vetores de um plano podem ser escritos como combinações lineares dos vetores do outro. Vamos usar o conceito de plano afim e de subespaço vetorial gerado para mostrar que, nessa situação, os dois planos têm o mesmo subespaço direção. Como são dados como distintos, isso implica que não se interceptam, ou seja, são paralelos.

Passo 2

Representamos cada plano como uma classe afim:
Aqui é o subespaço vetorial gerado pelos vetores indicados, e cada plano é o ponto-base mais esse subespaço direção.

Passo 3

Pela hipótese,
e estão em .
Logo
Como são linearmente independentes, tem dimensão 2. Analogamente também tem dimensão 2. Dois subespaços de mesma dimensão com inclusão mútua só podem ser iguais. Portanto

Passo 4

Concluímos que os planos Pi1 e Pi2 têm exatamente o mesmo subespaço direção. Na geometria afim, isso significa que ou eles coincidem como conjuntos de pontos ou não se intersectam de jeito nenhum (são paralelos). Como o enunciado afirma que são planos distintos, eles não coincidem e, portanto, não têm pontos em comum.

Resposta

Os planos são paralelos, i.e., não possuem pontos em comum.

Exercícios relacionados