São dados os pontos
tais que o ângulo
é reto. Demonstre o Teorema de Pitágoras para esse triângulo. Obs: As normas dos vetores
e
são os tamanhos dos lados do triângulo.
Passo 1
O enunciado dá um triângulo
em que
. Queremos mostrar que o quadrado do comprimento da hipotenusa
é a soma dos quadrados dos catetos
e
. Para isso, vamos usar vetores, produto escalar e a relação entre norma e produto escalar.
Passo 2
No triângulo, considere os vetores
e observe que
Passo 3
Tomando a norma ao quadrado de
e usando que
, temos
Passo 4
Como
, os vetores
e
são perpendiculares, logo
Mas
, então
Passo 5
Substituindo
na expressão de
, obtemos
Como
,
e
são exatamente os comprimentos dos lados
,
e
, isso é a formulação do Teorema de Pitágoras.