São dados os pontos A, B, C tais que o ângulo widehatA B C é reto. Demonstre o Teorema de Pitágoras para esse triângulo. Obs: As normas dos vetores vB C e vA C são os tamanhos dos lados do triângulo.

Passo 1

O enunciado dá um triângulo ABC em que widehatABC=90^circ. Queremos mostrar que o quadrado do comprimento da hipotenusa AC é a soma dos quadrados dos catetos AB e BC. Para isso, vamos usar vetores, produto escalar e a relação entre norma e produto escalar.

Passo 2

No triângulo, considere os vetores
AB, BC
e observe que
AC = AB + BC

Passo 3

Tomando a norma ao quadrado de AC e usando que |vec v|^2 = vec vcdot vec v, temos
|AC|^2 = (AB + BC)cdot(AB + BC) = |AB|^2 + 2,ABcdotBC + |BC|^2

Passo 4

Como widehatABC=90^circ, os vetores BA e BC são perpendiculares, logo
BAcdotBC=0
Mas BA=-AB, então
ABcdotBC = -,BAcdotBC = 0

Passo 5

Substituindo ABcdotBC=0 na expressão de |AC|^2, obtemos
|AC|^2 = |AB|^2 + |BC|^2
Como |AB|, |BC| e |AC| são exatamente os comprimentos dos lados AB, BC e AC, isso é a formulação do Teorema de Pitágoras.

Resposta

AC^2 = AB^2 + BC^2

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