Dados um polinômio V e um espaço vetorial dim V=n=d1+d2+cdots+dk com T: V V com pT=f. Quantos operadores existem?

Passo 1

O enunciado pede para contar todos os operadores lineares Tcolon Vto V cujo polinômio característico (denotado por pT) seja exatamente f(x)=prodi=1^k(x-lambdai)^di. Como dim V=n=sumi di, o conteúdo principal aqui é a teoria da forma canônica de Jordan.

Passo 2

Pela teoria de Jordan, existe uma matriz de Jordan J em alguma base de V cuja forma canônica satisfaz pJ=f. Ou seja, J é bloco-diagonal com blocos de Jordan associados a cada autovalor lambdai e multiplicidade di.

Passo 3

Qualquer outro operador T com pT=f é conjugado a J, isto é, existem infinitas matrizes invertíveis PinGL(V) tais que
T = P,J,P^-1
Cada escolha distinta de P gera um operador T diferente (em geral) mas com o mesmo polinômio característico.

Passo 4

Como o grupo GL(V) é infinito (se o corpo base for infinito) e mesmo que o corpo seja finito há muitas escolhas de P, concluímos que há infinitamente muitos operadores T com (p_T=f.

Resposta

Existem infinitamente muitos operadores T tais que pT=f.

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