Dados um polinômio
e um espaço vetorial
com
. Quantos operadores
existem?
Passo 1
O enunciado pede para contar todos os operadores lineares
cujo polinômio característico (denotado por
) seja exatamente
. Como
, o conteúdo principal aqui é a teoria da forma canônica de Jordan.
Passo 2
Pela teoria de Jordan, existe uma matriz de Jordan
em alguma base de
cuja forma canônica satisfaz
. Ou seja,
é bloco-diagonal com blocos de Jordan associados a cada autovalor
e multiplicidade
.
Passo 3
Qualquer outro operador
com
é conjugado a
, isto é, existem infinitas matrizes invertíveis
tais que
Cada escolha distinta de
gera um operador
diferente (em geral) mas com o mesmo polinômio característico.
Passo 4
Como o grupo
é infinito (se o corpo base for infinito) e mesmo que o corpo seja finito há muitas escolhas de
, concluímos que há infinitamente muitos operadores
com (p_T=f.
Resposta
Existem infinitamente muitos operadores
tais que
.