Se possível, diagonalize a seguinte matriz:
[
A=\left[ ccc 1 & 3 & 3 -3 & -5 & -3 3 & 3 & 1 \right]

Passo 1

O enunciado pede para diagonalizar a matriz A, ou seja, encontrar uma matriz invertível P e uma matriz diagonal D tais que A = P D P^{-1}. Para isso, vamos usar o conteúdo de autovalores e autovetores: precisamos do polinômio característico, das raízes (autovalores) e das bases dos espaços próprios (autovetores).

Passo 2

Calculamos o polinômio característico via det(A − λI)=0. Em bloco:
det(A-lambda I)=(1-lambda)(lambda+2)^2
Logo, os autovalores são lambda1=1 (multiplicidade 1) e lambda2=-2 (multiplicidade 2).

Passo 3

Para lambda=1, resolvemos (A-I)x=0. Em bloco:
A-I=0&3&3 -3&-6&-3 3&3&0
Isso gera as equações x2+x3=0 e x1-x3=0. Escolhendo x3=1, obtemos o autovetor v1=(1,-1,1)^T.

Passo 4

Para lambda=-2, resolvemos (A+2I)x=0. Em bloco:
A+2I=3&3&3 -3&-3&-3 3&3&3,
que reduz à condição x1+x2+x3=0. Uma base para esse espaço próprio de dimensão 2 é dada pelos vetores v2=(1,-1,0)^T e v3=(1,0,-1)^T.

Passo 5

Montamos P com esses autovetores como colunas e D com os autovalores na diagonal, respeitando a ordem:
P=1&1&1 -1&-1&0 1&0&-1, D=1&0&00&-2&00&0&-2
Verifica-se que det§=1 ≠0, então P é invertível e A=P D P^{-1}.

Resposta

P=1&1&1-1&-1&01&0&-1, D=1&0&00&-2&00&0&-2,com A=P,D,P^-1

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