O enunciado pede para diagonalizar a matriz A, ou seja, encontrar uma matriz invertível P e uma matriz diagonal D tais que A = P D P^{-1}. Para isso, vamos usar o conteúdo de autovalores e autovetores: precisamos do polinômio característico, das raízes (autovalores) e das bases dos espaços próprios (autovetores).
Passo 2
Calculamos o polinômio característico via det(A − λI)=0. Em bloco:
Logo, os autovalores são (multiplicidade 1) e (multiplicidade 2).
Passo 3
Para , resolvemos . Em bloco:
Isso gera as equações x2+x3=0 e x1-x3=0. Escolhendo x3=1, obtemos o autovetor v1=(1,-1,1)^T.
Passo 4
Para lambda=-2, resolvemos (A+2I)x=0. Em bloco:
A+2I=3&3&3 -3&-3&-3 3&3&3,
que reduz à condição x1+x2+x3=0. Uma base para esse espaço próprio de dimensão 2 é dada pelos vetores v2=(1,-1,0)^T e v3=(1,0,-1)^T.
Passo 5
Montamos P com esses autovetores como colunas e D com os autovalores na diagonal, respeitando a ordem:
P=1&1&1 -1&-1&0 1&0&-1, D=1&0&00&-2&00&0&-2
Verifica-se que det§=1 ≠0, então P é invertível e A=P D P^{-1}.