Sejam as matrizes ,
veja que cccc2 & 0 & 1 & 0 0 & 2 & 0 & -1 0 & 0 & 2 & 0 0 & 0 & 0 & 2. Determine a forma de Jordan de cada uma.
Passo 1
O enunciado nos dá quatro matrizes quadradas de ordem 4 com polinômio característico comum (x-2)^4. O que precisamos é a forma de Jordan de cada uma, que se determina pelo tamanho dos blocos de Jordan para o autovalor 2. Para isso, vamos usar o fato de que os tamanhos dos blocos vêm da ordem de nilpotência de N=M-2I e das dimensões de ker N^k.
Passo 2
Para A, definimos N=A-2I. Calculando N^k vemos que N^4=0 mas N^3neq0, ou seja, o índice de nilpotência é 4. Isso implica que o polinômio mínimo é (x-2)^4 e há um único bloco de Jordan de tamanho 4. Logo,
Para B, fazemos N=B-2I. Dá-se que N^2=0 e Nneq0, então o índice de nilpotência é 2, e o polinômio mínimo é (x-2)^2. Além disso, rank(N)=2 implica dimker N=2, ou seja, há dois blocos de Jordan, ambos de tamanho 2.
Passo 3
Para C, com N=C-2I obtemos igualmente N^2=0 e Nneq0. Aqui rank(N)=1 então dimker N=3, o que significa três blocos de Jordan. Como o índice é 2, teremos um bloco de tamanho 2 e dois blocos de tamanho 1.
Passo 4
Para D, definimos N=D-2I e verificamos que N^3=0 mas N^2neq0, de modo que o índice de nilpotência é 3. O posto de N é 2, então dimker N=2, isto é, dois blocos. Com índice 3, os blocos têm tamanhos 3 e 1.
Resposta
Para cada matriz a forma de Jordan (blocos de Jordan Jk(2)) é:
A: um bloco de tamanho 4 → J4(2).
B: dois blocos de tamanho 2 → J2(2)oplus J2(2).
C: um bloco de tamanho 2 e dois de tamanho 1 → J2(2)oplus J1(2)oplus J1(2).
D: um bloco de tamanho 3 e um de tamanho 1 → J3(2)oplus J1(2).