Dados os polinômios f=-2 x^3-x^2+2 x+1 e g=2 x+1, calcule: (f+g)(f-g) e f: g.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem dois polinômios:
f = -2x^3 - x^2 + 2x + 1
g = 2x + 1
Nosso objetivo é calcular:
  1. (f + g)(f - g)
  2. f div g
Vamos usar conhecimentos de operações com polinômios, como soma, subtração, multiplicação e divisão. Vamos resolver isso passo a passo para ficar bem tranquilo!

Passo 2

Primeiro, vamos calcular f + g . Isso significa somar os dois polinômios termo a termo.
f + g = (-2x^3 - x^2 + 2x + 1) + (2x + 1)
Para somar, alinhamos os termos de mesmo grau:
  • -2x^3 (não há termo cúbico em g )
  • -x^2 (não há termo quadrático em g )
  • 2x + 2x = 4x
  • 1 + 1 = 2
Então,
f + g = -2x^3 - x^2 + 4x + 2

Passo 3

Agora, vamos calcular f - g . Isso envolve subtrair cada termo de g correspondente ao de f .
f - g = (-2x^3 - x^2 + 2x + 1) - (2x + 1)
Alinhando os termos:
  • -2x^3 (sem mudança)
  • -x^2 (sem mudança)
  • 2x - 2x = 0
  • 1 - 1 = 0
Portanto,
f - g = -2x^3 - x^2

Passo 4

Agora que temos f + g e f - g , vamos multiplicar esses dois resultados:
(f + g)(f - g) = (-2x^3 - x^2 + 4x + 2)(-2x^3 - x^2)
Para multiplicar dois polinômios, usamos a distribuição (cada termo de um polinômio multiplica cada termo do outro).
Vamos fazer isso passo a passo:
  1. Multiplique cada termo de -2x^3 por -2x^3 - x^2 :
    • -2x^3 times -2x^3 = 4x^6
    • -2x^3 times -x^2 = 2x^5
  2. Multiplique cada termo de -x^2 por -2x^3 - x^2 :
    • -x^2 times -2x^3 = 2x^5
    • -x^2 times -x^2 = x^4
  3. Multiplique cada termo de 4x por -2x^3 - x^2 :
    • 4x times -2x^3 = -8x^4
    • 4x times -x^2 = -4x^3
  4. Multiplique cada termo de 2 por -2x^3 - x^2 :
    • 2 times -2x^3 = -4x^3
    • 2 times -x^2 = -2x^2
Agora, somamos todos esses resultados:
4x^6 + 2x^5 + 2x^5 + x^4 - 8x^4 - 4x^3 - 4x^3 - 2x^2
Simplificando os termos semelhantes:
  • 4x^6
  • 2x^5 + 2x^5 = 4x^5
  • x^4 - 8x^4 = -7x^4
  • -4x^3 - 4x^3 = -8x^3
  • -2x^2
Então,
(f + g)(f - g) = 4x^6 + 4x^5 - 7x^4 - 8x^3 - 2x^2

Passo 5

Agora, vamos calcular f div g . Para isso, vamos realizar a divisão de polinômios. Usaremos a divisão longa de polinômios.
Temos:
f = -2x^3 - x^2 + 2x + 1
g = 2x + 1
Vamos dividir f por g .
Passo 5.1: Dividir o primeiro termo de f pelo primeiro termo de g :
-2x^32x = -x^2
Passo 5.2: Multiplicar -x^2 por g e subtrair do f :
-x^2 times (2x + 1) = -2x^3 - x^2
Subtraindo do f :
& (-2x^3 - x^2 + 2x + 1) - & (-2x^3 - x^2) = & 0x^3 + 0x^2 + 2x + 1
Agora, nosso novo polinômio é 2x + 1 .
Passo 5.3: Dividir o primeiro termo resultante pelo primeiro termo de g :
2x2x = 1
Passo 5.4: Multiplicar 1 por g e subtrair do polinômio atual:
1 times (2x + 1) = 2x + 1
Subtraindo:
& (2x + 1) - & (2x + 1) = & 0
Como o resto é zero, a divisão acabou.
Então, temos:
f div g = -x^2 + 1

Resposta

  1. (f + g)(f - g) = 4x^6 + 4x^5 - 7x^4 - 8x^3 - 2x^2
  2. f div g = -x^2 + 1

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