Encontrar a derivada de cada uma das seguintes funções:
Passo 1
Resumindo, queremos derivar a função
. Como tanto a base quanto o expoente variam com
, o caminho mais fácil é usar diferenciação logarítmica. Vamos precisar também da regra do produto, da derivada de
e da derivada de
.
Passo 2
Definimos
e aplicamos
em ambos os lados para “baixar” o expoente:
[
\ln y = x \ln(\sin x)
] Isso aproveita a propriedade .
[
\ln y = x \ln(\sin x)
] Isso aproveita a propriedade
Passo 3
Agora derivamos implicitamente em relação a
. No lado esquerdo temos
[
\frac{y’}{y}
] e no direito aplicamos a regra do produto em :
[
\frac{d}{dx}\bigl(x\ln(\sin x)\bigr)=1\cdot\ln(\sin x)+x\cdot\frac{d}{dx}\bigl(\ln(\sin x)\bigr)
] Sabendo que
[
\frac{d}{dx}\bigl(\ln(\sin x)\bigr)=\frac{\cos x}{\sin x}=\cot x,
] obtemos
[
\frac{y’}{y}=\ln(\sin x)+x\cot x.
]
[
\frac{y’}{y}
] e no direito aplicamos a regra do produto em
[
\frac{d}{dx}\bigl(x\ln(\sin x)\bigr)=1\cdot\ln(\sin x)+x\cdot\frac{d}{dx}\bigl(\ln(\sin x)\bigr)
] Sabendo que
[
\frac{d}{dx}\bigl(\ln(\sin x)\bigr)=\frac{\cos x}{\sin x}=\cot x,
] obtemos
[
\frac{y’}{y}=\ln(\sin x)+x\cot x.
]
Passo 4
Por fim, isolamos
multiplicando ambos os lados por
:
[
y’=y\bigl(\ln(\sin x)+x\cot x\bigr).
] Como , a derivada fica
[
f’(x)=(\sin x)^x\bigl(\ln(\sin x)+x\cot x\bigr).
]
[
y’=y\bigl(\ln(\sin x)+x\cot x\bigr).
] Como
[
f’(x)=(\sin x)^x\bigl(\ln(\sin x)+x\cot x\bigr).
]