Encontrar a derivada de cada uma das seguintes funções:
f(x)=(sen x)^x

Passo 1

Resumindo, queremos derivar a função f(x) = (sin x)^x. Como tanto a base quanto o expoente variam com x, o caminho mais fácil é usar diferenciação logarítmica. Vamos precisar também da regra do produto, da derivada de ln e da derivada de sin x.

Passo 2

Definimos y = f(x) e aplicamos ln em ambos os lados para “baixar” o expoente:
[
\ln y = x \ln(\sin x)
] Isso aproveita a propriedade ln(a^b)=bln a.

Passo 3

Agora derivamos implicitamente em relação a x. No lado esquerdo temos
[
\frac{y’}{y}
] e no direito aplicamos a regra do produto em xln(sin x):
[
\frac{d}{dx}\bigl(x\ln(\sin x)\bigr)=1\cdot\ln(\sin x)+x\cdot\frac{d}{dx}\bigl(\ln(\sin x)\bigr)
] Sabendo que
[
\frac{d}{dx}\bigl(\ln(\sin x)\bigr)=\frac{\cos x}{\sin x}=\cot x,
] obtemos
[
\frac{y’}{y}=\ln(\sin x)+x\cot x.
]

Passo 4

Por fim, isolamos y' multiplicando ambos os lados por y:
[
y’=y\bigl(\ln(\sin x)+x\cot x\bigr).
] Como y=(sin x)^x, a derivada fica
[
f’(x)=(\sin x)^x\bigl(\ln(\sin x)+x\cot x\bigr).
]

Resposta

(sin x)^xl(ln(sin x)+xcot xr)

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