Qual o valor de k para que p(x)=6 x^5+11 x^4+4 x^3+k x^2+2 x+8 seja divisível por 3 x+4?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um polinômio p(x) = 6x^5 + 11x^4 + 4x^3 + kx^2 + 2x + 8 e queremos descobrir o valor de k que faz com que esse polinômio seja divisível por 3x + 4 . Para resolver isso, vamos usar o Teorema do Resto, que ajuda a encontrar remainders quando dividimos polinômios.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona o Teorema do Resto. Ele diz que se a gente divide um polinômio p(x) por um binômio da forma ax + b , o resto da divisão é igual a p(-ba) . Então, se o polinômio for divisível, o resto será zero.

Passo 3

No nosso caso, o binômio é 3x + 4 . Vamos aplicar o Teorema do Resto:
p(-43) = 0
Agora, vamos substituir x por -43 na expressão de p(x) :
6(-43)^5 + 11(-43)^4 + 4(-43)^3 + k(-43)^2 + 2(-43) + 8 = 0

Passo 4

Vamos calcular cada termo:
  1. 6(-43)^5 = 6 times (-1024243) = -6144243
  2. 11(-43)^4 = 11 times 25681 = 281681
  3. 4(-43)^3 = 4 times (-6427) = -25627
  4. k(-43)^2 = k times 169 = 16k9
  5. 2(-43) = -83
  6. 8 = 243
Agora, somamos tudo:
-6144243 + 281681 - 25627 + 16k9 - 83 + 243 = 0
Vamos ajustar as frações para terem o mesmo denominador (243):
-6144243 + 2816 times 3243 - 256 times 9243 + 16k times 27243 - 8 times 81243 + 24 times 81243 = 0
Simplificando:
-6144243 + 8448243 - 2304243 + 432k243 - 648243 + 1944243 = 0
Agora, somamos todos os termos numéricos:
(-6144 + 8448 - 2304 - 648 + 1944) + 432k = 0
Calculando:
(-6144 + 8448) = 2304 2304 - 2304 = 0 0 - 648 = -648 -648 + 1944 = 1296
Então:
1296 + 432k = 0
Isolando k :
432k = -1296 k = -1296432 k = -3

Resposta

O valor de k que torna p(x) divisível por 3x + 4 é k = -3 .

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