Qual o polinômio que, ao ser dividido por x-6, tem quociente 2 x-5 e resto -12 ?

Passo 1

O enunciado pede: encontrar o polinômio P(x) que, ao ser dividido por x-6, tem quociente 2x-5 e resto -12.
Informações dadas:
\text{divisor} = x-6,
\text{quociente} = 2x-5,
\text{resto} = -12.
O que se pede: o polinômio P(x) explícito (forma padrão, somando os termos).

Passo 2

Vamos usar o Algoritmo da Divisão para polinômios. Ele diz que, para polinômios P(x), D(x) (divisor) e Q(x) (quociente), existe um resto r(x) tal que
P(x)=D(x)\cdot Q(x)+r(x).
Como o divisor é linear (x-6), o resto é uma constante (grau menor que 1). Aqui o enunciado já deu essa constante: -12. Então aplicamos diretamente a fórmula com os dados fornecidos.

Passo 3

Substituindo na fórmula do Algoritmo da Divisão:
P(x)=(x-6)\cdot(2x-5)+(-12).
Agora vamos calcular o produto e simplificar passo a passo.

Passo 4

Multiplicamos (x-6) por (2x-5). Faço distributiva termo a termo:
(x-6)(2x-5)=x\cdot(2x-5)-6\cdot(2x-5).

Passo 5

Calculo cada parte:
x\cdot(2x-5)=2x^2-5x,
-6\cdot(2x-5)=-12x+30.
Somando essas duas parcelas:
(x-6)(2x-5)=(2x^2-5x)+(-12x+30)=2x^2-(5x+12x)+30.
Combine os termos semelhantes:
2x^2-(5x+12x)+30=2x^2-17x+30.

Passo 6

Agora adicionamos o resto -12:
P(x)=2x^2-17x+30+(-12).
Somando as constantes:
30+(-12)=18,
portanto
P(x)=2x^2-17x+18.

Passo 7

Como verificação rápida (útil na prova): pelo Teorema do Resto, o resto de dividir P(x) por x-6 é P(6). Calculamos
P(6)=2\cdot6^2-17\cdot6+18=2\cdot36-102+18=72-102+18=-12,
que coincide com o resto dado. Tudo consistente.

Resposta

2x^2-17x+18

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