Dados os polinômios P(x)=x^2-14 x+49 e Q(x)=x-7, determine:
(a) P(x)+Q(x)
(b) P(x) cdot Q(x)
(c) P(x)Q(x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de polinômios juntos! A gente tem dois polinômios, P(x) = x^2 - 14x + 49 e Q(x) = x - 7 . A gente precisa fazer três coisas: somar, multiplicar e dividir esses polinômios. Para isso, vamos usar as regras básicas de operações com polinômios.

Passo 2

Vamos começar pela parte (a): P(x) + Q(x) . Somar polinômios é como somar termos semelhantes. Isso significa que a gente vai somar os termos que têm o mesmo grau (ou seja, a mesma potência de x ).

Passo 3

Primeiro, escrevemos os polinômios um embaixo do outro alinhando os termos semelhantes:
P(x) &= x^2 - 14x + 49 Q(x) &= x^2 ,,, x - 7

Passo 4

Agora, somamos os coeficientes dos termos semelhantes:
  • O termo x^2 só está em P(x) , então continua igual.
  • Nos termos de x : -14x + x = -13x .
  • Nos termos constantes: 49 - 7 = 42 .

Passo 5

Então, a soma fica:
P(x) + Q(x) = x^2 - 13x + 42

Passo 6

Vamos para a parte (b): P(x) cdot Q(x) . Multiplicar polinômios envolve distribuir cada termo de um polinômio por cada termo do outro. Vamos fazer isso passo a passo.

Passo 7

Escrevemos a multiplicação:
(x^2 - 14x + 49)(x - 7)

Passo 8

Distribuímos cada termo de P(x) por cada termo de Q(x) :
x^2 cdot x &= x^3 x^2 cdot (-7) &= -7x^2 -14x cdot x &= -14x^2 -14x cdot (-7) &= 98x 49 cdot x &= 49x 49 cdot (-7) &= -343

Passo 9

Agora, somamos todos esses termos:
x^3 - 7x^2 -14x^2 + 98x + 49x - 343

Passo 10

Vamos simplificar combinando os termos semelhantes:
  • x^3 fica só.
  • -7x^2 -14x^2 = -21x^2 .
  • 98x + 49x = 147x .

Passo 11

Então, o produto fica:
P(x) cdot Q(x) = x^3 - 21x^2 + 147x - 343

Passo 12

Agora, parte (c): P(x)Q(x) . Para dividir polinômios, a gente pode usar a divisão longa ou verificar se Q(x) é um fator de P(x) .

Passo 13

Observando Q(x) = x - 7 , podemos verificar se x = 7 é uma raiz de P(x) . Se for, então Q(x) é um fator de P(x) .

Passo 14

Vamos substituir x = 7 em P(x) :
P(7) = (7)^2 - 14(7) + 49 = 49 - 98 + 49 = 0

Passo 15

Como P(7) = 0 , isso significa que x - 7 é um fator de P(x) . Assim, a divisão de P(x) por Q(x) vai resultar em um polinômio de grau menor.

Passo 16

Para encontrar o quociente, fazemos a divisão:
x^2 - 14x + 49x - 7 = x - 7

Resposta

(a) P(x) + Q(x) = x^2 - 13x + 42
(b) P(x) cdot Q(x) = x^3 - 21x^2 + 147x - 343
(c) P(x)Q(x) = x - 7

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