1. Dados o ponto P(1,3-1), o plano pi: x+z=2 e a reta s: P=(2,0,0)+m(1,0,1), obtenha uma equação da reta r que passa por P, é paralela a pi e dista 3 da reta s.

Passo 1

O enunciado dá o ponto P=(1,3,-1), o plano picolon x+z=2 e a reta
s: (x,y,z)=(2,0,0)+m,(1,0,1).
Queremos a reta r que passa por P, é paralela a pi e cuja distância até s vale 3.
Conteúdo: geometria analítica de retas e plano, uso do produto vetorial e fórmula da distância entre retas “skew”.

Passo 2

Para que r seja paralela ao plano pi, sua direção v=(a,b,c) deve satisfazer
vcdot n=0,
onde n é a normal de pi. Aqui n=(1,0,1), logo
acdot1 + bcdot0 + ccdot1=0 Longrightarrow a+c=0

Passo 3

Da condição a+c=0 tomamos a=1, c=-1 e deixamos b livre. Assim
v=(1,b,-1)
é um vetor diretor genérico de r.

Passo 4

A distância entre duas retas “skew” rcolon P0+t, v e scolon Q0+m, us é
d=l|,(P0-Q0)cdot( vtimes us)r|| vtimes us|
Aqui P0=(1,3,-1), Q0=(2,0,0) e us=(1,0,1).

Passo 5

Calculamos o produto vetorial e o dot:
vtimes us =(1,b,-1)times(1,0,1) =(b,-2,-b).
E
P0-Q0=(1-2,3-0,-1-0)=(-1,3,-1).
Logo
(P0-Q0)cdot( vtimes us) =(-1),b + 3,(-2)+(-1),(-b) = -b-6 + b = -6,
e
| vtimes us| =raizb^2+(-2)^2+(-b)^2 =raiz2b^2+4

Passo 6

Impondo d=3:
6raiz2b^2+4=3 Longrightarrow raiz2b^2+4=2 Longrightarrow 2b^2+4=4 Longrightarrow b=0

Passo 7

Com b=0 fica v=(1,0,-1). Portanto uma equação paramétrica de r é
rcolon (x,y,z)=(1,3,-1)+t,(1,0,-1)

Resposta

rcolon x=1+t, y=3, z=-1-t

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