Decida se a afirmação é (sempre) verdadeira ou (às vezes) falsa. Justifique sua resposta dando um argumento lógico matemático ou um contra-exemplo.
( ) mathrmSe A^100 é inversível, então 3 A também o é.

Passo 1

O enunciado diz: “Se A^100 é inversível, então 3A também o é.” Aqui o conteúdo é invertibilidade de matrizes e escalares em corpos. Para decidir se a afirmação vale sempre, vamos estudar primeiro a relação entre a invertibilidade de A^100 e de A, e depois entre a invertibilidade de A e de 3A.

Passo 2

Mostramos que se A^100 é inversível então A é inversível. De fato, suponha que exista B tal que
A^100B = I
Multiplicando adequadamente por potências de A, vemos que A admite inversa à esquerda e à direita, logo A é inversível.

Passo 3

Agora, se A é inversível e estamos num corpo cujo escalar 3 não seja zero, então 3A também é inversível, porque
(3A)^-1 = tfrac13,A^-1
Nesse caso, de fato det(3A)=3^ndet(A)neq0. Mas se o corpo tem característica 3, então o escalar 3 é igual a zero e 3A é a matriz zero, que não é inversível.

Passo 4

Contra-exemplo em característica 3. Tome o corpo F3 = 0,1,2 e escolha
A = In
Então A^100=In é inversível, mas
3A = 3In = 0
é a matriz nula, que não é inversível. Portanto a afirmativa falha em corpos de característica 3.

Resposta

A afirmação é às vezes falsa.

Exercícios relacionados