Decida se a afirmação é (sempre) verdadeira ou (às vezes) falsa. Justifique sua resposta dando um argumento lógico matemático ou um contra-exemplo.
( )
é inversível, então
também o é.
( )
Passo 1
O enunciado diz: “Se
é inversível, então
também o é.” Aqui o conteúdo é invertibilidade de matrizes e escalares em corpos. Para decidir se a afirmação vale sempre, vamos estudar primeiro a relação entre a invertibilidade de
e de
, e depois entre a invertibilidade de
e de
.
Passo 2
Mostramos que se
é inversível então
é inversível. De fato, suponha que exista
tal que
Multiplicando adequadamente por potências de
, vemos que
admite inversa à esquerda e à direita, logo
é inversível.
Passo 3
Agora, se
é inversível e estamos num corpo cujo escalar
não seja zero, então
também é inversível, porque
Nesse caso, de fato
. Mas se o corpo tem característica
, então o escalar
é igual a zero e
é a matriz zero, que não é inversível.
Passo 4
Contra-exemplo em característica
. Tome o corpo
e escolha
Então
é inversível, mas
é a matriz nula, que não é inversível. Portanto a afirmativa falha em corpos de característica
.
Resposta
A afirmação é às vezes falsa.