Seja T: M2 times 1(R) M2 times 1(R), definida por
Tbinomxy doteq(rr -1 & -2 0 & 1 )binomxy, parabinomxy in M2 times 1(R)
(a) Mostre que a aplicação T é um operador linear em M2 times 1(R);
(b) Encontre todos os vetores u in R^2, tais que T(u)=u.
(c) Encontre todos os vetores v in R^2, tais que $T(v)=-v.

Passo 1

O enunciado define a aplicação
Tcolon M2times1(R)to M2times1(R)
por
Tbinomxy =-1 & -2[6pt]0 & 1binomxy,
ou seja, é dada pela matriz
A = -1 & -2[3pt]0 & 1
O conteúdo é operadores lineares em R^2 e autovetores associados aos autovalores 1 e -1.]

Passo 2

Para mostrar que T é linear, basta usar propriedades da multiplicação de matriz por soma e escalar. Sejam u,vin M2times1(R) e cinR. Então
T(u+v)=A(u+v)=Au+Av=T(u)+T(v),
T(c,u)=A(c,u)=c,(Au)=c,T(u)
Como T preserva soma e multiplicação por escalar, T é linear.

Passo 3

Para encontrar u tais que T(u)=u, resolvemos
A,u = u Long<=ftrightarrow (A - I),u = 0
Escrevendo u=(x,y)^T, temos
-1-1 & -2[3pt]0 & 1-1 binomxy = -2 & -2[3pt]0 & 0 binomxy = binom00
Isso gera o sistema
-2x - 2y = 0, 0 = 0
Da primeira equação vem x = -y e a segunda é identicamente satisfeita. Logo
u = binomxy = binom-yy = y,binom-11, yinR ]

Passo 4

Para encontrar v tais que T(v)=-v, resolvemos
A,v = -v Long<=ftrightarrow (A + I),v = 0
Escrevendo v=(x,y)^T, obtém-se
-1+1 & -2[3pt]0 & 1+1 binomxy = 0 & -2[3pt]0 & 2 binomxy = binom00,
que gera o sistema
-2y = 0, 2y = 0
Ambas implicam y=0 e não impõem restrição em x. Logo
v = binomx0 = x,binom10, xinR ]

Resposta

(a) T é linear.
(b) Os vetores fixos são
,t(-1,1) : tinR.
(c) Os vetores com T(v)=-v são
,s(1,0) : sinR.

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