(a) Mostre que a aplicação T é um operador linear em M2 times 1(R);
(b) Encontre todos os vetores u in R^2, tais que T(u)=u.
(c) Encontre todos os vetores v in R^2, tais que $T(v)=-v.
Passo 1
O enunciado define a aplicação
Tcolon M2times1(R)to M2times1(R)
por
Tbinomxy =-1 & -2[6pt]0 & 1binomxy,
ou seja, é dada pela matriz
A = -1 & -2[3pt]0 & 1
O conteúdo é operadores lineares em R^2 e autovetores associados aos autovalores 1 e -1.]
Passo 2
Para mostrar que T é linear, basta usar propriedades da multiplicação de matriz por soma e escalar. Sejam u,vin M2times1(R) e cinR. Então
T(u+v)=A(u+v)=Au+Av=T(u)+T(v),
T(c,u)=A(c,u)=c,(Au)=c,T(u)
Como T preserva soma e multiplicação por escalar, T é linear.