Sejam
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Calcule
Ortonormalize|a base (
) pelos 2 processos vistos em sala de aula
Calcule
Ortonormalize|a base (
Passo 1
Tranquilo, bora entender o que está rolando. A gente tem o “caixote” com vértices
,
,
e
. Definimos os vetores a partir de
:
O conteúdo é ortonormalizar essa base
(vec u,vec w,vec v) em
R^3 . Vamos usar:
- Produto escalar
.vec acdotvec b = a1b1+a2b2+a3b3 - Norma
.|vec a|=raizvec acdotvec a - Projeção
.projvec a(vec b)=vec bcdotvec avec acdotvec a,vec a - Produto vetorial
.vec atimesvec b=(a2b3-a3b2,;a3b1-a1b3,;a1b2-a2b1)
A partir do próximo passo, a gente mete o pé na resolução!
Passo 2
(Ortonormalização pelo método de Gram–Schmidt)
- Primeiro vetor normalizado:
- Segundo vetor:
– Projeção de emvec w :vec e1
,vec wcdotvec e1=(-2,2,0)cdot(0,1,0)=2
projvec e1(vec w)=2,(0,1,0)=(0,2,0)
– Subtraio e normalizo:
,vec w'=vec w-proj=(-2,2,0)-(0,2,0)=(-2,0,0)
|vec w'|=2;Rightarrow;vec e2=vec w'2=(-1,0,0) - Terceiro vetor:
– Tiro projeções de emvec v :vec e1,vec e2
. Entãovec vcdotvec e1=0,;vec vcdotvec e2=0
,vec v'=vec v=(0,0,2) ,|vec v'|=2
vec e3=vec v'2=(0,0,1)
Passo 3
(Ortonormalização pelo método do produto vetorial)
- Já temos
.vec e1=vec u/|vec u|=(0,1,0) - Faço o perpendicular a
evec u :vec w
3) Finalmente
Resposta
Ambos os processos geram a mesma base ortonormal em
R^3 :