Sejam
A=(3,4,0); B=(3,6,0); C=(1,4,0); D=(1,6,0); E=(3,4,2); F=(3,6,2); G=(1,4,2); H=(1,6,2);
Calcule
Ortonormalize|a base ( u, w, v ) pelos 2 processos vistos em sala de aula

Passo 1

Tranquilo, bora entender o que está rolando. A gente tem o “caixote” com vértices
A=(3,4,0), B=(3,6,0), D=(1,6,0) e E=(3,4,2). Definimos os vetores a partir de A:
vec u = AB = B - A = (0,2,0), vec w = AD = D - A = (-2,2,0), vec v = AE = E - A = (0,0,2)
O conteúdo é ortonormalizar essa base (vec u,vec w,vec v) em R^3. Vamos usar:
  • Produto escalar vec acdotvec b = a1b1+a2b2+a3b3.
  • Norma |vec a|=raizvec acdotvec a.
  • Projeção projvec a(vec b)=vec bcdotvec avec acdotvec a,vec a.
  • Produto vetorial vec atimesvec b=(a2b3-a3b2,;a3b1-a1b3,;a1b2-a2b1).
A partir do próximo passo, a gente mete o pé na resolução!

Passo 2

(Ortonormalização pelo método de Gram–Schmidt)
  1. Primeiro vetor normalizado:
|vec u|=raiz0^2+2^2+0^2=2, vec e1=vec u|vec u|=l(0,1,0r)
  1. Segundo vetor:
    – Projeção de vec w em vec e1:
    vec wcdotvec e1=(-2,2,0)cdot(0,1,0)=2,
    projvec e1(vec w)=2,(0,1,0)=(0,2,0)
    – Subtraio e normalizo:
    vec w'=vec w-proj=(-2,2,0)-(0,2,0)=(-2,0,0),
    |vec w'|=2;Rightarrow;vec e2=vec w'2=(-1,0,0)
  2. Terceiro vetor:
    – Tiro projeções de vec v em vec e1,vec e2:
    vec vcdotvec e1=0,;vec vcdotvec e2=0. Então
    vec v'=vec v=(0,0,2), |vec v'|=2,
    vec e3=vec v'2=(0,0,1)

Passo 3

(Ortonormalização pelo método do produto vetorial)
  1. Já temos vec e1=vec u/|vec u|=(0,1,0).
  2. Faço o perpendicular a vec u e vec w:
vec utimesvec w=(0,2,0)times(-2,2,0) =(0cdot0-0cdot2,;0cdot(-2)-0cdot0,;0cdot2-2cdot(-2)) =(0,0,4)
|vec utimesvec w|=4, então
vec e3=vec utimesvec w4=(0,0,1)
3) Finalmente
vec e2=vec e3timesvec e1=(0,0,1)times(0,1,0)=(-1,0,0)

Resposta

Ambos os processos geram a mesma base ortonormal em R^3:
boxedl,(0,1,0),;(-1,0,0),;(0,0,1)r

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