Dados o ponto P(2,-1,3) e o vetor diretor \vec{v}=(0,4,0) :
(a) ( \mathbf{1} ponto) Escreva a reta nas formas paramétrica, vetorial e simétrica.
(b) ( \mathbf{1} ponto) Verifique se o ponto Q(2,5,3) pertence à reta.
(c) ( \mathbf{1} ponto) Indique a quais eixos coordenados a reta é paralela. Justifique a partir do vetor diretor.

Passo 1

O enunciado dá o ponto P(2,-1,3) e o vetor diretor \vec v=(0,4,0). O conteúdo aqui é a equação de reta no espaço em suas formas paramétrica, vetorial e simétrica, além de testar a pertença de um ponto e determinar paralelismo em relação aos eixos coordenados.

Passo 2

Para escrever a reta que passa por P com direção \vec v, introduzimos o parâmetro t.
A forma paramétrica é
x = 2,\quad y = -1 + 4t,\quad z = 3.
A forma vetorial é
(x,y,z) = (2,-1,3) + t\,(0,4,0).

Passo 3

Na forma simétrica, normalmente escrevemos
\frac{x-2}{0} \;=\;\frac{y+1}{4}\;=\;\frac{z-3}{0}.
Como não podemos dividir por zero, destacamos que x=2 e z=3 são constantes e
\frac{y+1}{4}=t
é o parâmetro.

Passo 4

Para verificar se Q(2,5,3) pertence à reta, comparamos com as equações paramétricas: x=2 coincide e z=3 coincide. Em y, temos
-1 + 4t = 5 \quad\Longrightarrow\quad 4t = 6 \quad\Longrightarrow\quad t = \tfrac{3}{2}.
Esse valor de t existe, então Q está na reta.

Passo 5

Um vetor paralelo ao eixo x teria a forma (a,0,0), ao eixo y teria (0,b,0) e ao eixo z teria (0,0,c). Como \vec v=(0,4,0) tem apenas componente em y, a reta é paralela ao eixo y e não é paralela aos eixos x nem z.

Resposta

(a)
Forma paramétrica:
x = 2,\quad y = -1 + 4t,\quad z = 3.
Forma vetorial:
(x,y,z) = (2,-1,3) + t\,(0,4,0).
Forma simétrica:
\frac{x-2}{0}=\frac{y+1}{4}=\frac{z-3}{0},
isto é, x=2, z=3 e \frac{y+1}{4} é o parâmetro.
(b) Sim. Para Q(2,5,3) temos x=2, z=3 e -1+4t=5 t=\tfrac{3}{2}, logo Q pertence à reta.
(c) A reta é paralela ao eixo y porque seu vetor diretor é (0,4,0), ou seja, só tem componente não nula em y.

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