Dados o ponto
e o vetor diretor
:
(a) (
ponto) Escreva a reta nas formas paramétrica, vetorial e simétrica.
(b) (
ponto) Verifique se o ponto
pertence à reta.
(c) (
ponto) Indique a quais eixos coordenados a reta é paralela. Justifique a partir do vetor diretor.
(a) (
(b) (
(c) (
Passo 1
O enunciado dá o ponto
e o vetor diretor
. O conteúdo aqui é a equação de reta no espaço em suas formas paramétrica, vetorial e simétrica, além de testar a pertença de um ponto e determinar paralelismo em relação aos eixos coordenados.
Passo 2
Para escrever a reta que passa por
com direção
, introduzimos o parâmetro
.
A forma paramétrica é
A forma paramétrica é
A forma vetorial é
Passo 3
Na forma simétrica, normalmente escrevemos
Como não podemos dividir por zero, destacamos que
e
são constantes e
é o parâmetro.
Passo 4
Para verificar se
pertence à reta, comparamos com as equações paramétricas:
coincide e
coincide. Em
, temos
Esse valor de
existe, então
está na reta.
Passo 5
Um vetor paralelo ao eixo
teria a forma
, ao eixo
teria
e ao eixo
teria
. Como
tem apenas componente em
, a reta é paralela ao eixo
e não é paralela aos eixos
nem
.
Resposta
(a)
Forma paramétrica:
Forma paramétrica:
Forma vetorial:
Forma simétrica:
isto é,
,
e
é o parâmetro.
(b) Sim. Para
temos
,
e
dá
, logo
pertence à reta.
(c) A reta é paralela ao eixo
porque seu vetor diretor é
, ou seja, só tem componente não nula em
.