( \mathbf{1 , 5} pontos) Calcule os valores do coeficiente k para que o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores \vec{p}=(1,0,2), \vec{q}=(2,1,-1) e \vec{r}=(0, k, 1) seja 5 unidades de volume.

Passo 1

O enunciado pede os valores de k tais que o volume do paralelepípedo gerado por \vec p=(1,0,2), \vec q=(2,1,-1) e \vec r=(0,k,1) seja 5. O volume é dado pelo valor absoluto do produto misto
V = \bigl|\vec p\cdot(\vec q\times\vec r)\bigr|
que equivale a
V = \left|\det \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0\\\\ 0 & 1 & k\\\\ 2 & -1 & 1 \end{pmatrix}\right|.

Passo 2

Vamos calcular o determinante
D = \det \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0\\\\ 0 & 1 & k\\\\ 2 & -1 & 1 \end{pmatrix}.
Expandindo ao longo da primeira linha:
D = 1\cdot\det\begin{pmatrix}1 & k\\\ -1 & 1\end{pmatrix} -2\cdot\det\begin{pmatrix}0 & k\\\ 2 & 1\end{pmatrix} +0\cdot(\dots).
O primeiro menor vale
\det\begin{pmatrix}1 & k\\\ -1 & 1\end{pmatrix} =1\cdot1 - k\cdot(-1)=1+k,
e o segundo menor vale
\det\begin{pmatrix}0 & k\\\ 2 & 1\end{pmatrix} =0\cdot1 - k\cdot2=-2k.
Logo
D = (1+k) -2\bigl(-2k\bigr) = 1+k +4k = 1+5k.

Passo 3

Como o volume é \bigl|D\bigr| e deve ser 5, temos
\bigl|1+5k\bigr| = 5.

Passo 4

Resolvendo \,1+5k=5
5k=4\quad\Rightarrow\quad k=\tfrac{4}{5},
e resolvendo \,1+5k=-5
5k=-6\quad\Rightarrow\quad k=-\tfrac{6}{5}.

Resposta

\displaystyle k=\frac{4}{5} ou \displaystyle k=-\frac{6}{5}.

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