Dados o ponto
A(1,1,1)
e o plano
alpha: 5 x-7 y+2 z=0.

Observações:

  • Redija a sua prova de modo organizado e com rigor matemático.
  • Todas as questões devem ser resolvidas utilizando os conceitos apresentados nas aulas.
  • Não é permitido o uso de qualquer tipo de calculadora.
    Determinar as equações reduzidas, em termos de x, da reta que passa por A e é paralela à reta intersecção entre o plano alpha e o plano Oxz.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem o ponto A(1, 1, 1) e um plano chamado α, definido pela equação 5x - 7y + 2z = 0. O objetivo aqui é encontrar as equações reduzidas, em termos de x, da reta que passa pelo ponto A e que é paralela à reta de interseção entre o plano α e o plano OXZ. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, como equações de planos, interseção de planos e equações de retas no espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos entender qual é a reta de interseção entre o plano α e o plano OXZ. O plano OXZ é aquele onde y = 0. Então, para encontrar a interseção, substituímos y = 0 na equação de α:
5x - 7(0) + 2z = 0 implies 5x + 2z = 0
Essa é a equação que representa a interseção dos dois planos. Agora, vamos parametrizar essa reta.

Passo 3

Para parametrizar a reta de interseção, escolhemos um parâmetro, digamos [t), para . Assim, temos:
Substituindo na equação :
Como na reta de interseção, temos a parametrização completa:
Isso nos dá a direção da reta de interseção, que é o vetor (\vec{d} = (1, 0, -\frac{5}{2})].

Passo 4

Agora, queremos uma reta que passa pelo ponto A(1, 1, 1) e que seja paralela à reta de interseção que encontramos. Como as retas são paralelas, elas têm a mesma direção. Então, a direção da nossa nova reta também será [\vec{d} = (1, 0, -\frac{5}{2})).
Vamos usar a parametrização de uma reta que passa por um ponto com direção :
Aplicando isso ao ponto A(1, 1, 1) e ao vetor direção (\vec{d}]:

Passo 5

Queremos expressar as equações reduzidas em termos de x. A primeira equação já está em termos de x:
x = 1 + t implies t = x - 1
Agora, substituímos t = x - 1 nas outras duas equações:
Para y:
y = 1 + 0 cdot t = 1
Para z:
z = 1 - 52(x - 1) = 1 - 52x + 52 = 72 - 52x

Resposta

As equações reduzidas da reta são:
y = 1
z = -52x + 72

Exercícios relacionados