Redija a sua prova de modo organizado e com rigor matemático.
Todas as questões devem ser resolvidas utilizando os conceitos apresentados nas aulas.
Não é permitido o uso de qualquer tipo de calculadora.
Determinar as equações reduzidas, em termos de , da reta que passa por A e é paralela à reta intersecção entre o plano e o plano Oxz.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem o ponto A(1, 1, 1) e um plano chamado α, definido pela equação . O objetivo aqui é encontrar as equações reduzidas, em termos de , da reta que passa pelo ponto A e que é paralela à reta de interseção entre o plano α e o plano OXZ. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, como equações de planos, interseção de planos e equações de retas no espaço.
Passo 2
Primeiro, vamos entender qual é a reta de interseção entre o plano α e o plano OXZ. O plano OXZ é aquele onde . Então, para encontrar a interseção, substituímos na equação de α:
Essa é a equação que representa a interseção dos dois planos. Agora, vamos parametrizar essa reta.
Passo 3
Para parametrizar a reta de interseção, escolhemos um parâmetro, digamos [t), para . Assim, temos:
Substituindo na equação :
Como na reta de interseção, temos a parametrização completa:
Isso nos dá a direção da reta de interseção, que é o vetor (\vec{d} = (1, 0, -\frac{5}{2})].
Passo 4
Agora, queremos uma reta que passa pelo ponto A(1, 1, 1) e que seja paralela à reta de interseção que encontramos. Como as retas são paralelas, elas têm a mesma direção. Então, a direção da nossa nova reta também será [\vec{d} = (1, 0, -\frac{5}{2})).
Vamos usar a parametrização de uma reta que passa por um ponto com direção :
Aplicando isso ao ponto A(1, 1, 1) e ao vetor direção (\vec{d}]:
Passo 5
Queremos expressar as equações reduzidas em termos de x. A primeira equação já está em termos de x:
x = 1 + t implies t = x - 1
Agora, substituímos t = x - 1 nas outras duas equações: