Determinar a equação geral do plano que passa pela origem e é paralelo ao plano que contém as retas e .
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Precisamos encontrar a equação geral de um plano que passe pela origem (ponto (0,0,0)) e que seja paralelo ao plano que contém as retas r e s . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre planos e retas no espaço tridimensional.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as retas [r) e .
A reta é dada por:
Isso significa que para qualquer valor de e .
A reta é dada por:
Aqui, .
Passo 3
Para encontrar um plano que contenha as retas r e s , precisamos encontrar dois vetores diretores dessas retas e um ponto no plano.
Primeiro, vamos encontrar um ponto em cada reta.
Para a reta r :
Escolhemos x = 0 :
y = 12(0) - 3 = -3 z = -0 = 0
Então, um ponto na reta r é P(0, -3, 0) .
Para a reta s :
Escolhemos t = 0 :
x = 1 - 2(0) = 1 y = 4 - 0 = 4 z = 2(0) = 0
Então, um ponto na reta s é Q(1, 4, 0) .
Passo 4
Agora, vamos encontrar os vetores diretores das retas r e s .
Para a reta r , observamos as equações:
y = 12x - 3 z = -x
Podemos reescrever em termos de x e t :
x = t y = 12t - 3 z = -t
Assim, o vetor diretor vr da reta r é (1, 12, -1) .
Para a reta s , já está parametrizada:
x = 1 - 2t y = 4 - t z = 2t
Então, o vetor diretor vs da reta s é (-2, -1, 2) .
Passo 5
Com os vetores diretores das retas r e s , podemos encontrar um vetor normal ao plano que contém essas retas usando o produto vetorial.
n = i (1 - 1) - j (2 - 2) + k (-1 + 1) n = (0, 0, 0)
Ops! O produto vetorial deu zero, o que significa que os vetores vr e vs são linearmente dependentes e, portanto, as retas r e s são paralelas ou coincidentes. Isso implica que as retas estão no mesmo plano ou em planos paralelos.
Passo 6
Como o produto vetorial deu zero, precisamos de uma abordagem diferente para encontrar o plano. Sabemos que o plano que queremos passar pela origem e ser paralelo ao plano que contém r e s deve ter a mesma orientação (o mesmo vetor normal).
Vamos usar um ponto adicional para determinar a equação do plano. Como o plano passa pela origem, a equação será do tipo:
ax + by + cz = 0
Precisamos encontrar os coeficientes a, b, c que definem o plano paralelo ao plano contendo r e s .
Passo 7
Para encontrar a, b, c , vamos utilizar os vetores diretores das retas r e s . O plano paralelo terá vetores diretores que são combinações lineares desses vetores.
Sabemos que o vetor normal ao plano é perpendicular a ambos os vetores diretores. Então, podemos encontrar o vetor normal n resolvendo:
n cdot vr = 0 n cdot vs = 0
Assumindo n = (a, b, c) :
a(1) + b(12) + c(-1) = 0 a(-2) + b(-1) + c(2) = 0
Isso nos dá o sistema:
a + 12b - c = 0 -2a - b + 2c = 0
Passo 8
Vamos resolver esse sistema para encontrar a, b, c .
Da primeira equação:
a = c - 12b
Substituindo na segunda equação:
-2(c - 12b) - b + 2c = 0 -2c + b - b + 2c = 0 0 = 0
Isso significa que temos infinitas soluções. Podemos escolher um valor para b e encontrar a e c .
Vamos escolher b = 2 :
a = c - 12(2) = c - 1
Podemos escolher c = 1 , então:
a = 1 - 1 = 0
Portanto, n = (0, 2, 1) .
Passo 9
Agora que temos o vetor normal n = (0, 2, 1) , podemos escrever a equação do plano que passa pela origem: