• Problema 5.1. Prove que, se c é um ponto isolado em D, então f é automaticamente contínua em c.

Passo 1

O enunciado nos dá uma função fcolon DtoR e um ponto cin D que é isolado em D. Queremos provar que, nessas condições, f é contínua em c. Para isso vamos usar a definição de ponto isolado e a definição de continuidade de funções reais (critério epsilon de<a).

Passo 2

Por definição, c é ponto isolado em D se existe algum raio de<a0>0 tal que
,xin D:0<|x-c|<de<a0=varnothing
Isto é, na bola aberta de raio de<a0 ao redor de c, o único ponto de D é o próprio c.

Passo 3

Para mostrar que f é contínua em c usamos o seguinte:
f é contínua em c” significa que
forall varepsilon>0;exists de<a>0;forall xin D:;|x-c|<de<a;Longrightarrow;|f(x)-f(c)|<varepsilon
Agora, dado qualquer varepsilon>0, basta escolher de<a=de<a0. Se xin D satisfaz |x-c|<de<a, a condição de ponto isolado força x=c. Logo
|f(x)-f(c)|=|f(c)-f(c)|=0<varepsilon
Isso cumpre o critério epsilon de<a de continuidade em c.

Resposta

f é contínua em c.

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