- Problema 5.1. Prove que, se
é um ponto isolado em
, então
é automaticamente contínua em
.
Passo 1
O enunciado nos dá uma função
e um ponto
que é isolado em
. Queremos provar que, nessas condições,
é contínua em
. Para isso vamos usar a definição de ponto isolado e a definição de continuidade de funções reais (critério
–
).
Passo 2
Por definição,
é ponto isolado em
se existe algum raio
tal que
Isto é, na bola aberta de raio
ao redor de
, o único ponto de
é o próprio
.
Passo 3
Para mostrar que
é contínua em
usamos o seguinte:
“ é contínua em
” significa que
“
Agora, dado qualquer
, basta escolher
. Se
satisfaz
, a condição de ponto isolado força
. Logo
Isso cumpre o critério
–
de continuidade em
.