Estude a posição relativa entre as retas e nos casos abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para estudarmos a posição relativa entre duas retas no espaço, chamadas de e . Isso faz parte da matéria de Geometria Analítica. Para resolver, vamos precisar entender as equações das retas e descobrir se elas são paralelas, se se cruzam em algum ponto ou se são retas “escorregadias” (chamadas de retas divergentes ou skew).
Passo 2
Primeiro, vamos escrever as equações das retas de forma paramétrica, ou seja, expressando [x), e em função de um parâmetro.
Para a reta :
Aqui, (t] é o parâmetro.
Para a reta [s):
Aqui, , mas para simplificação, vamos manter .
Passo 3
Agora, precisamos verificar se as retas são paralelas. Duas retas são paralelas se os vetores diretores delas são múltiplos um do outro.
O vetor diretor de r é vr = (2, 3, 4) e o vetor diretor de s é vs = (1, -1, -2) .
Vamos ver se existe um número k tal que:
(2, 3, 4) = k cdot (1, -1, -2)
Isso implicaria:
2 = k cdot 1 3 = k cdot (-1) 4 = k cdot (-2)
A partir da primeira equação, k = 2 . Mas na segunda equação, 3 = -2 , o que não faz sentido. Portanto, os vetores diretores não são múltiplos, ou seja, as retas não são paralelas.
Passo 4
Já que as retas não são paralelas, vamos verificar se elas se cruzam em algum ponto. Para isso, igualamos as equações paramétricas das retas e resolvemos o sistema.