Estude a posição relativa entre as retas e nos casos abaixo:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para estudarmos a posição relativa entre duas retas no espaço, chamadas de r e s . Isso faz parte da matéria de Geometria Analítica. Para resolver, vamos precisar entender as equações das retas e descobrir se elas são paralelas, se se cruzam em algum ponto ou se são retas “escorregadias” (chamadas de retas divergentes ou skew).

Passo 2

Primeiro, vamos escrever as equações das retas de forma paramétrica, ou seja, expressando [x), e em função de um parâmetro.
Para a reta :
Aqui, (t] é o parâmetro.
Para a reta [s):
Aqui, , mas para simplificação, vamos manter .

Passo 3

Agora, precisamos verificar se as retas são paralelas. Duas retas são paralelas se os vetores diretores delas são múltiplos um do outro.
O vetor diretor de r é vr = (2, 3, 4) e o vetor diretor de s é vs = (1, -1, -2) .
Vamos ver se existe um número k tal que:
(2, 3, 4) = k cdot (1, -1, -2)
Isso implicaria:
2 = k cdot 1 3 = k cdot (-1) 4 = k cdot (-2)
A partir da primeira equação, k = 2 . Mas na segunda equação, 3 = -2 , o que não faz sentido. Portanto, os vetores diretores não são múltiplos, ou seja, as retas não são paralelas.

Passo 4

Já que as retas não são paralelas, vamos verificar se elas se cruzam em algum ponto. Para isso, igualamos as equações paramétricas das retas e resolvemos o sistema.
Temos:
2 + 2t = 5 + s 3t = 2 - s 5 + 4t = 7 - 2s
Vamos resolver esse sistema passo a passo.
Da segunda equação:
3t = 2 - s Rightarrow s = 2 - 3t
Substituindo s na primeira equação:
2 + 2t = 5 + (2 - 3t) 2 + 2t = 7 - 3t 2t + 3t = 7 - 2 5t = 5 t = 1
Agora, substituindo t = 1 em s = 2 - 3t :
s = 2 - 3(1) = -1
Vamos verificar na terceira equação:
5 + 4(1) = 7 - 2(-1) 9 = 9
Tudo confere!

Resposta

As retas r e s são intersecantes e se cruzam no ponto (4, 3, 9) .

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