• Problema 5.2. Mostre que o valor de<a na definição de continuidade não é único.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, na definição de continuidade de uma função f num ponto a, o valor de de<a que satisfaz a condição
|x - a| < de<a ;Longrightarrow; |f(x) - f(a)| < varepsilon
não é único. O conteúdo usado é a definição varepsilon- de<a de continuidade.

Passo 2

Recordando a definição: dizemos que f é contínua em a se, para todo varepsilon>0, existe algum de<a>0 tal que sempre que
|x - a| < de<a
seguirá
|f(x) - f(a)| < varepsilon

Passo 3

Suponha que, para um dado varepsilon>0, encontrámos um de<a0>0 que funciona, ou seja,
|x - a| < de<a0 Longrightarrow |f(x) - f(a)| < varepsilon

Passo 4

Agora escolhemos qualquer outro número de<a tal que
0 < de<a <= de<a0
Se |x - a|<de<a, então certamente |x - a|<de<a0, e daí conclui-se
|f(x) - f(a)|<varepsilon
Isso mostra que esse novo de<a também satisfaz a definição.

Passo 5

Como podemos fazer isso para qualquer de<a no intervalo (0,de<a0], concluímos que há infinitos valores de de<a que funcionam.

Resposta

A conclusão é que, dada uma função contínua em a e um varepsilon>0, o valor de de<a que garante a condição de continuidade não é único: qualquer de<a tal que 0<de<a<=de<a0 serve.

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